Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 2. Aşama => 2020 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mayıs 07, 2021, 12:17:45 öö
-
$n>1$ bir tam sayı olmak üzere, $\left\{1,2, \ldots, n^{2}\right\}$ kümesinin $k$ elemanlı her alt kümesinde $x^{2} \mid y$ olacak şekilde $x$ ve $y$ elemanları bulunuyorsa, $k$ nin alabilecegi en küçük değeri bulunuz.
-
Sorudaki şartı $ n $'in küçük değerleri için denenince $\left\{n+1,n+2, \ldots, n^{2}\right\}$ altkümesinde bu şartı sağlayan $x$ ve $y$ sayıları bulunamayacağı görülür. İspatlayalım.
Kümeden seçilen her x sayısı $x>n$ şartını sağlar. Yani $x^2>n^2$'dir. Ayrıca $x^{2} \mid y$ ise pozitif tamsayılarda konuştuğumuzdan $y>x^{2}>n^2$'dir. Bu da açık bir çelişkidir.
Yani $k>n^2-n$. Tahmin: $k=n^2-n+1$ bu şartı sağlar. $k=n^2-n+1$'ken bu şartı sağlamayan bir alt küme arayalım. Güvercin yuvası prensibine göre her $n^2-n+1$ elemanlı her kümede ilk $n$ sayıdan en az bir tanesi vardır. Bu sayı $i$ olsun. Bu şartı sağlamayan bir altküme istediğimiz için o kümede $i^2$ olmasın. $i^2$ $\left\{n+1,n+2, \ldots, n^{2}\right\}$ kümesinin bir elemanı olduğu için bu kısımdan maksimum $n^2-n-1$ eleman olabilir. Yani ilk $n$ sayıdan en az $i$ dışında başka bir $i_2$ vardır. Aynı şekilde istemediğimiz $i_2^2$ sayısını
atıldığında ilk $n$'den başka bir $i_3$ elde edilir. Bu böyle atılmaya devam ettikçe (edilmezse zaten sağlanır.) $n^2-n>n$ olduğundan ilk $n$ sayının hepsi o küme içinde elde edilir ve $1$ her sayıyı böldüğünden şart sağlanır.
Sitedeki ilk çözümüm pek emin olmadığım yerler var.