Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mart 28, 2021, 05:03:56 ös
-
Problem (Lokman GÖKÇE): $(a_n), (b_n)$ pozitif tam sayı dizileri $a_n + \sqrt{3}b_n=(1+\sqrt{3})^n$ eşitliği yardımıyla tanımlanıyor. Örneğin $a_1=b_1=1$ dir. $a_n$ ile $b_n$ nin en büyük ortak böleni $d_n$ ise
$$ d_{2n} = d_{2n+1} = 2^n$$
olduğunu kanıtlayınız.
-
Bu soruyu tümevarımla çözebiliriz. $n=1$ için $(a_1,b_1)=(1,1)$ olduğundan $d_1=1=2^0$'dır, istenileni sağlar. $n=2$ için $(1+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}$ olduğundan $(a_2,b_2)=(4,2)$ olup $d_2=2=2^1$'dir. Şimdi $n\in \{1,2,\dots ,k\}$ için $d_{2n}=d_{2n+1}=2^n$ olduğunu kabul edelim. $a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3}=(a_{n}+b_{n}\sqrt{3})(1+\sqrt{3})$ olduğundan $$a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{3}=(a_n+3b_n)+(a_n+b_n)\sqrt{3}$$ olur. Yani $a_{n+1}=a_n+3b_n$ ve $b_{n+1}=a_n+b_n$ elde edilir. Benzer şekilde $a_n=a_{n-1}+3b_{n-1}$ ve $b_{n}=a_{n-1}+b_{n-1}$ olacağndan $$a_{n+1}=a_n+3b_n=(a_{n-1}+3b_{n-1})+3(a_{n-1}+b_{n-1})=4a_{n-1}+6b_{n-1}$$ $$b_{n+1}=a_n+b_n=(a_{n-1}+3b_{n-1})+(a_{n-1}+b_{n-1})=2a_{n-1}+4b_{n-1}$$ elde edilir. $$d_{k+1}=(a_{k+1},b_{k+1})=(4a_{k-1}+6b_{k-1},2a_{k-1}+4b_{k-1})=2\cdot (2a_{k-1}+3b_{k-1},a_{k-1}+2b_{k-1})$$ Öklid algoritmasından, $$(2a_{k-1}+3b_{k-1},a_{k-1}+2b_{k-1})=(b_{k-1},a_{k-1}+2b_{k-1})=(b_{k-1},a_{k-1})=d_{k-1}$$ Dolayısıyla $d_{k+1}=2d_{k-1}$ elde edilir. $n=k-1$ için eşitliğin sağlandığını kabul etmiştik. Bulduğumuz ifadeden de eşitliğin $n={k+1}$ için de sağlanıldığı görülür. Dolayısıyla tümevarımdan istenilen eşitlik ispatlanmış olur.
Not: Tümevarımla ispat yönteminde şu unutulmamalıdır ki $P(n)$, istenilen ifadenin önermesi olmak üzere, eğer sonuç olarak bulduğunuz ifade $P(n)$ doğru ise $P(n+k)$ da doğrudur şeklinde ise ilk $k$ terim için $P(n)$'nin doğru olduğu gösterilmelidir. Örnek olarak bu soruda $d_{k-1}$ sağlıyorsa $d_{k+1}$ de sağlar şeklinde bir ifade bulunduğundan ilk $2$ terim için sağlama yapılmıştır. Bu durum gözden kaçırılıp sadece $n=1$ için sağlama yapılırsa ifade sadece tek sayılar için ispatlanmış olur.
Genelleştirme: WolframAlpha üzerinden $(1+\sqrt{3})^n$ yerine $m$ tamkare olmamak şartıyla $(1+\sqrt{m})^n$ ifadesinde ortak bölen incelemesi yaptım. Bu sorudaki gibi herhangi bir örüntü gözlemleyemesem de $m$ çiftse ortak bölenin $1$ olduğunu ve eğer $m$ tekse $2$'nin kuvveti olduğunu gözlemledim. Çok fazla durumu incelemedim, o yüzden aksi bir kanıt var mı bilmiyorum. Belki araştırmak isteyenler olur diye bunu da buraya bırakıyorum.
-
Çözümünüz doğru, teşekkürler :).
Hemen hemen aynı biçimde yaptığım video çözümü burada (https://www.youtube.com/watch?v=7WCN14Fp6gw) dakika 5:15'te sundum. Probleme fikir veren daha temel bir soruyu ve çözümünü de videonun başlangıcında verdim. Herkese iyi çalışmalar ...