Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Genç Balkan Matematik Olimpiyatı => 1999 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Aralık 12, 2020, 02:59:26 öö

Başlık: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1999 Soru 1
Gönderen: Lokman Gökçe - Aralık 12, 2020, 02:59:26 öö

$a, b, c$ farklı gerçel sayılar olmak üzere
$$a^3 + ax + y = 0, \quad b^3 + bx + y = 0, \quad c^3 + cx + y = 0 $$
olacak şekilde $x, y$ gerçel sayıları vardır. $a+b+c=0$ olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: Genç Balkan Matematik Olimpiyatı 1999 Soru 1
Gönderen: Lokman Gökçe - Aralık 12, 2020, 03:05:43 öö

Birbirinden farklı $a, b, c$ gerçel sayılarını $P(t)=t^3 + xt + y$ üçüncü dereceden polinomunun üç farklı kökü olarak düşünebiliriz. Böylece $P(a)= a^3 + ax + y = 0$, $P(b)= b^3 + bx + y = 0$, $P(c)=c^3 + cx + y = 0$ denklemleri sağlanır. $P(t)$ polinomunda $t^2$ li terimin katsayısı $0$ olduğundan Vieta formülüne göre köklerin toplamı $a+b+c =0$ olur.