Fantezi Geometri => Geometri-Teorem ve İspatlar => Konuyu başlatan: Teknokrat - Ekim 14, 2007, 12:59:24 öö
Başlık: Diklik Merkezi (Orthocenter)
Gönderen: Teknokrat - Ekim 14, 2007, 12:59:24 öö
Problem1. Bir $ABC$ üçgeninde $[AD] , [BE] , [CF]$ yükseklikler ve $H$ diklik merkezi olsun. $$|AH|^2+|BC|^2=|BH|^2+|AC|^2=|CH|^2+|AB|^2$$ olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: osmanekiz - Ekim 14, 2007, 01:09:59 öö
$AC$ ve $BC$ ye sırasıyla $A$ ve $B$ de dik olan doğruların kesim noktası $K$ olsun. $KA\parallel BH$ ve $KB \parallel AH$ olduğundan $KBHA$ paralelkenar olup $|AH|=|KB|, |BH|=|KA|$ eşitlikleri vardır. $AKBC$ dörtgeninde $\angle{A}=\angle{B}=90^\circ$ olduğundan, $|KB|^2+|BC|^2=|KA|^2+|AC|^2 \Rightarrow |AH|^2+|BC|^2=|BH|^2+|AC|^2$ dir. Benzer şekilde, $|AH|^2+|BC|^2=|CH|^2+|AB|^2$ ve $|BH|^2+|AC|^2=|CH|^2+|AB|^2$ eşitlikleri de gösterilebilir. O halde, $$|AH|^2+|BC|^2=|BH|^2+|AC|^2=|CH|^2+|AB|^2$$ dir.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 16, 2007, 07:36:19 ös
Problem2. Herhangi bir üçgenin yüksekliklerinin (yada uzantılarının) tek noktada kesiştiğini (noktadaş olduğunu) ispatlayınız.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: alpercay - Ekim 17, 2007, 12:33:54 öö
Üçgenin köşelerinden geçen üç doğru iç bölgede noktadaş ise(bu doğrulara sanırım cevian da deniyordu) Seva(ceva) teoremi sağlanır.Yani bildiğiniz oranların çarpımı 1 dir.Eğer söz konusu oranların çarpımı 1 ise bu üç doğru noktadaştır.Bundan ve oluşan dik üçgenlerin benzerliklerinden faydalanarak oranlar çarpımının 1 olduğu gösterilebilir.Müsait bir vakitte çizerek gönderebiliriz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: Teknokrat - Ekim 17, 2007, 01:20:03 öö
.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 01, 2007, 12:19:16 ös
Ceva'da trigonometrik form kullanmadan, (AF/FB).(BD/DC).(CE/EA) = 1 olduğu gösterilerek de bir çözüm yapılabilir...
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 01, 2007, 12:26:19 ös
Problem3.
1) Dar açılı bir ABC üçgeninde D, E, F yükseklik ayakları ve H diklik merkezi ise H noktasının DEF nin içteğet çemberinin merkezi olduğunu ispatlayınız.
Dikme ayaklarının oluşturduğu üçgene ortik üçgen de denir.Yukarıdaki teoremi şöyle de ifade edebiliriz: Dar açılı bir üçgenin diklik merkezinin, ortik üçgenin iç merkezidir.
2) Geniş açılı bir üçgenin diklik merkezi, ortik üçgenin bir dış merkezidir.ispatlayınız.
*iç merkez: iç teğet çemberin merkezi *dış merkez: dış teğet çemberin merkezi *çevrel merkez: çevrel çemberin merkezi
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: SerkanOzel - Ekim 18, 2013, 06:46:33 ös
Ortik ücgenle ilgili ispatlar...
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:16:04 ös
Problem4. Bir $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yükseklikler ve $H$ diklik merkezi olsun. $$2\left (|AH|\cdot|AD|+|BH|\cdot|BE|+|CH|\cdot|CF| \right )=|AB|^2+|BC|^2+|CA|^2$$ olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:22:39 ös
Problem5. Bir $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yükseklikler ve $H$ diklik merkezi olsun. $$|AH|\cdot|HD|=|BH|\cdot|HE|=|CH|\cdot|HF|$$ olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:26:52 ös
Problem6. Bir üçgende diklik merkezinin, üçgenin kenarlarına göre simetriklerinin, üçgenin çevrel çemberinin üzerinde olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:28:52 ös
Problem7. $BAC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi olsun. Buna göre $BHC$ üçgeninin çevrel çember yarıçapının $BAC$ üçgeninin çevrel çember yarıçapına eşit olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:31:36 ös
Problem8. $ABC$ üçgeninde $[AD]$ bir yükseklik olup $H$ diklik merkezidir. Buna göre, $$|BD|\cdot|CD|=|AD|\cdot|HD|$$ olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:36:15 ös
Problem9. Diklik merkezi $H$ olan bir $ABC$ üçgeninde $[BC], [CA] , [AB]$ çaplı çemberlerin $AH, BH, CH$ yi kestiği noktalar sırasıyla $D, E, F$ olsun. $$A(ABC)^2 = A(BDC)^2+A(AEC)^2+A(AFB)^2$$ olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:43:21 ös
Problem10. Bir üçgende, ortik üçgenin çevrel çember yarıçapının, üçgenin çevrel çember yarıçapının yarısı kadar olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:50:50 ös
Problem11. $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yüksekliklerdir. Buna göre,
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:53:52 ös
Problem12. Çevrel çemberinin yarıçapı $R$ olan bir $ABC$ üçgeninin alanı ile, $DEF$ ortik üçgeninin çevresi arasında $$2\cdot A(ABC)=R\cdotÇ(DEF)$$ bağıntısının olduğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:56:19 ös
Problem13. $ABC$ dar açılı üçgen olmak üzere, köşeleri üçgenin kenarları üzerinde bulunan üçgenlerden en küçük çevreli olanı ortik üçgendir. Gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 05:59:33 ös
Problem14. Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yükseklikler olmak üzere, $DEF$ üçgeninin çevresinin, $ABC$ üçgeninin yarı çevresini aşamayacağını gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 06:05:03 ös
Problem15. $ABC$ üçgeninde $[AD], [BE], [CF]$ yükseklikler olmak üzere,
a) $Ç(DEF)=|AD|\cdot \sin A = |BE| \cdot \sin B = |CF| \cdot \sin C$
b) $|AD|\cdot|BE|\cdot|CF| = Ç(DEF)\cdot A(ABC)$
eşitliklerinin doğruluğunu gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 13, 2015, 06:09:58 ös
Problem16. $ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi $O$ çevrel çemberin merkezidir. $O$ dan $[BC]$ ye çizilen dikme ayağı $D$ olsun.Buna göre $|AH|=2|OD|$ dir. Gösteriniz.
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: cunomat - Eylül 13, 2015, 10:36:55 ös
Problem4
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: cunomat - Eylül 13, 2015, 11:11:27 ös
Problem5
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi
Gönderen: cunomat - Eylül 14, 2015, 12:06:10 öö
Problem6
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi (Orthocenter)
Gönderen: cunomat - Eylül 14, 2015, 04:59:25 ös
Problem7
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi (Orthocenter)
Gönderen: cunomat - Eylül 14, 2015, 05:42:19 ös
Problem8
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi (Orthocenter)
Gönderen: cunomat - Eylül 14, 2015, 09:43:08 ös
Problem10
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi (Orthocenter)
Gönderen: cunomat - Eylül 16, 2015, 10:47:35 öö
Problem11
Başlık: Ynt: Diklik Merkezi (Orthocenter)
Gönderen: AtakanCİCEK - Ağustos 25, 2019, 12:31:20 ös
Problem 2 Çözümü Dar açılı Bir $ABC$ üçgeni için, $ABC$ üçgeninin $[BF]$ ile $[CE]$ yükseklikleri çizilsin ve kesiştikleri nokta $D$ olsun. $[AD$ ışını çizilip $[BC]$'yi kestiği nokta $G$ olsun. $BFC$ üçgenini katlayarak $FCH$ üçgenini elde edelim. $m(\widehat{DBC})=\alpha$ , $m(\widehat{DCB})=\beta$ ve $m(\widehat{DCA})=\theta$ olsun. O halde $\alpha + \beta + \theta=90^{\circ}$ tir. $[EC]\perp [AB]$ bilgisinden dolayı $m(\widehat{DAB})=\theta$ olmalıdır. $[FC]\perp [BH] $ olduğunu biliyoruz. Aynı zamanda $\mid BF\mid = \mid FH \mid$ olduğundan $BCHA$ bir deltoiddir. Açıları yerleştirecek olursak $m(\widehat{AHE})=\theta$ olduğu için $DACH$ bir kirişler dörtgenidir. $m(\widehat{DAC})=m(\widehat{DHC})=m(\widehat{DBC})=\alpha$ olduğundan dolayı $m(\widehat{AGC})=180-\alpha-\beta-\theta=90^{\circ}$ olarak bulunur.
Dikkat Edilecek olursa $\alpha+\beta<90^{\circ}$ tir. O halde $DBC$ üçgeni Geniş açılı bir üçgendir. Daha sonra $[BE]\perp [DC]$ ,$[FC]\perp [DB]$ ve $[DG]\perp [BC]$ olduğundan buradaki $DBC$ üçgeninin yüksekliklerinin kesiştiği yer $A$ noktasıdır. Aynı zamanda Açıları $(\alpha,\beta,180^{\circ}-\alpha-\beta)$ olduğundan oluşabilecek tüm geniş açılı üçgenler için bu koşul sağlanacağından geniş açılı üçgenler için de ispat biter.
Dik açılı olacak olurlarsa Dik kenarların kesiştiği nokta bir köşe olduğu için iki yükseklik üçgenin köşesi üzerinde kesişiyor. Diğer yükseklik te bu noktadan çizileceği için ispat bitmiştir.