Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2020 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Eylül 12, 2020, 05:37:04 ös

Başlık: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 10
Gönderen: Metin Can Aydemir - Eylül 12, 2020, 05:37:04 ös

Dört basamaklı $4A3B$ pozitif tam sayısının $36$ ile bölümünden kalan $19$'dur. Buna göre $A$'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 9 \qquad\textbf{c)}\ 10 \qquad\textbf{d)}\ 11 \qquad\textbf{e)}\ 12$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2020 Soru 10
Gönderen: Metin Can Aydemir - Haziran 10, 2021, 06:52:19 ös

Cevap: $\boxed{E}$

Sayının $36$ ile bölünmesini incelemek yerine $4$ ve $9$'a bölümünden kalanları inceleyebiliriz. $4A3B=4030+100A+B$'dir. $$4030+100A+B\equiv 2+B\equiv 19 \equiv 3\pmod{4}\Longrightarrow B\equiv 1\pmod{4}$$ $$4030+100A+B\equiv 7+A+B\equiv 19\equiv 1\pmod{9}\Longrightarrow A+B\equiv 3\pmod{9}$$ elde edilir. $A$ ve $B$ rakam olduğundan $A+B\leq 18$'dir. Dolayısıyla $A+B=3$ veya $A+B=12$ olabilir. $B$, $4$'e bölündüğünde $1$ kalanı verdiğinden $1$, $5$ veya $9$ olabilir.

$B=1$ ise $A=2$ veya $A=11$ bulunur. $A$ bir rakam olduğundan $A=2$ olmalıdır.

$B=5$ ise $A+B=3$ olamayacağından $A+B=12$ olacaktır ve $A=7$ bulunur.

$B=9$ ise benzer şekilde $A=3$ bulunur.

$A$'nın alabileceği değerlerin toplamı $2+7+3=\boxed{12}$'dir.