Yanıt: $\boxed{B}$
Kürenin yarıçapını $R$ ile gösterelim. $O$ noktasından $ABC$ üçgeninin düzlemine inilen dikme ayağı $N$ olsun. $|ON|=x$ uzunluğunu bulmalıyız. ($ABC$ üçgeni çeşitkenar olabilir, eşkenar olmak zorunda değildir). $N$ noktasının, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi olduğunu kanıtlayalım:
$|AN|^2=|AO|^2-|ON|^2 = R^2 - x^2$, $|BN|^2=|BO|^2-|ON|^2 = R^2 - x^2$, $|CN|^2=|CO|^2-|ON|^2 = R^2 - x^2$ olduğundan $|AN|=|BN|=|CN|=a$ dır. Yani $N$ noktası, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezidir.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6842.0;attach=15453;image)
$ON$ doğrusunun küreyi kestiği noktalar, problemde ifade edilen $P$ ve $Q$ noktalarıdır. $|PA|^2=|PN|^2+|AN|^2$ ve $|QA|^2=|QN|^2+|AN|^2$ olduğundan $|PN|<|QN|$ dir. Bu eşitlikleri
$$ a^2 + (R-x)^2 = 30^2 $$
$$ a^2 + (R+x)^2 = 40^2 $$
olarak ifade edebiliriz. Taraf tarafa toplayarak ve çıkararak
$$ 2(a^2+R^2+x^2) =50^2 \tag{1}$$
$$ 4Rx = 700\tag{2} $$
eşitliklerine ulaşırız. Ayrıca $ONC$ dik üçgeninde
$$ R^2 = x^2 + a^2 \tag{3} $$
olup $(1)$ ve $(3)$ ten $R=25$ bulunur. Bu değeri $(2)$ de yazarsak $x=7$ elde edilir.
Not: $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı da $a=24$ olur.