Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2020 => Konuyu başlatan: Uygar ÖZTÜRK - Eylül 06, 2020, 09:33:30 öö
-
$x^{2}-x+1=y^{3}$ ve $y^{2}-y=x^{3}$ eşitliklerinin her ikisini de sağlayan kaç farklı $(x, y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
-
Yanıt: $\boxed{A}$
denklemleri $x=-1$ için çözülemediğini görelim ardından ilk denklemi $x+1$ ile çarpalım. aynı zamanda $y=0$ için çözüm olmadığını da görelim.
$x^3=y^3.(x+1)-1$ bulunur. $2$. denklemde yerine koyup $x$ i yalnız bırakırsak
$x=\dfrac{-y^3+y^2-y+1}{y^3}$ olur bunu 1. demklemde yerine koyalım
$\left ( \dfrac{-y^3+y^2-y+1}{y^3}\right )^2-\left (\dfrac{-y^3+y^2-y+1}{y^3}\right )+1=y^3$ düzenlersek.
$y^9-3y^6+3y^5-4y^4+5y^3-3y^2+2y-1=0$ bulunur.
Çarpanlarına ayırırsak ;
$(y-1).(y^8+y^7+y^6-2y^5+y^4-3y^3+2y^2-y+1)=0$ olur. $y\not =1$ için Aşağıdaki reel sayılardan reel sayılara $P(x)$ polinomunu tanımlayalım ve daima pozitif olduğunu ispatlayalım.
$P(x)=x^8+x^7+x^6-2x^5+x^4-3x^3+2x^2-x+1$ olsun. Türev yardımıyla işaret tablosu yapılırsa global minimumunun olacağı görülür. Bu sayı $m$ reel sayısı olsun.
$P(m)=m^8+m^7+m^6-2m^5+m^4+3m^3+2m^2-m+1=a$
$P'(m)=8m^7+7m^6+6m^5-10m^4+4m^3-9m^2+4m-1=0$
$8P(m)-P'(m)=8a=8m^8+m^7+m^6-22m^5+18m^4-28m^3+25m^2-12m+9=8a$ olur.
$1)$ $25m^2-28m^3>0$
$2)$ $18m^4-22m^5>0$
$3)$ $8m^8+m^7+m^6-12m+9>0$ olduklarını göstermeliyiz.
İlk olarak $3)$ ü ispatlayalım.
Reel sayılardan reel sayılara
$Q(x)=8x^8+x^7+x^6-12x+9$ polinomunun daima pozitif olduğunu gösterelim.
$Q'(x)=64x^7+7x^6+6x^5-12$ olur.
$R(x)=8Q(x)-xQ'(x)$ olarak tanımlayalım.
$Q'(x)=0$ yapan tek değer vardır o da $Q(x)$ i global minimum yapan değerdir. (Türev ile ispatlanabilir.) Bu değer $n$ olsun. $Q(n)=b$ ise
$8Q(n)-nQ'(n)=n^7+2n^6-84n+72=8b$ olur.
$R(x)$ fonksiyonu $0<x<1$ için azalandır. çünkü $R'(x)=7x^6+12x^5-84$ olur ve $7x^6+12x^5$ daima artan olduğundan $0<x\le1$ için $R'(x)\le R'(1)<0$ bulunur. O halde
$R'(0,7)$ ve $R'(0,8)$ in yaklaşık değerlerinin hesaplanmasından yardım alarak $0,7<n<0,8$ elde edilebilir. $R(0,8)>0$ ise
$R(n)=8b>0$ yani $b>0$ olur $Q$ polinomunun daima pozitif olduğu gösterilmiş olur.
$R(0,8)=22,3340032$ olduğundan ispat biter.
$1)$ ve $2$ eşitlikleri sadeleştirilir ve incelenirse $m<0,81$ olmasının gerektiğini göstermenin ispatı bitireceği görülür.
$P'(0,81)=0,055>0$ , $P'(0,8)=-0,129<0$ olur. o halde $0,8<m<0,81$ olur. İspat biter.
Bu ispatlanan 3 eşitsizlik yardımıyla $8P(m)-P'(m)=8a=8m^8+m^7+m^6-22m^5+18m^4-28m^3+25m^2-12m+9>0 $ bulunur. $a>0$ yani $P$ polinomunun minimum değeri pozitif olur. Buna göre $P(y)=0$ denkleminin çözüm kümesi boş küme olmalıdır.
$y=1$ çözümü bulunduğuna göre $2.$ eşitlikte yerine koyalım.
$y^2-y=1^2-1=x^3=0$ ise $x=0$ olunur ve bu $1.$ eşitliği de sağlar.
$(0,1)$ tek çözümü olur.
-
$x\not = 0$ ve $y\not = 0$ için $y=xt$ , $t \in R$ reel sayısı vardır.
$x^2-x+1=x^3t^3$
$x^2t^2-xt=x^3$ olur.
2. eşitlik düzenlenirse $t.(xt-1)=x^2$ yani $xt-1=\dfrac{x^2}{t}$ olsun.
1. eşitlikte düzenlemeler yapalım.
$x^2-x=x^3t^3-1=(xt-1).((xt-1)^2+3xt)$
$x^2-x=\dfrac{x^2}{t}.(\dfrac{x^4}{t^2}+3xt)$
$x^2t^3-xt^3=x^6+3x^3t^3$ buradan
$t^3=\dfrac{x^6}{-3x^3+x^2-x}$
1. eşitlikte bunu yerine koyarsak
$(x^2-x+1).(-3x^3+x^2-x)=x^9$ her iki taraf $x\not = 0$ kabulunden dolayı $x$ e bölünürse
$(x^2-x+1).(-3x^2+x-1)=x^8$ eşitliğin sağ tarafı pozitif fakat sol tarafı daima negatif olacağından dolayı çelişki elde edilir.
Diskriminant negatifse $2.$ derece polinomların başkatsayısı pozitif olup olmadığını belirler.
$1.$ çarpan $\triangle_1=(-1)^2-4.(1).(1)=-3<0$ olur. Daima pozitiftir.
$2.$ çarpan $\triangle_2=1^2-4.(-3).(-1)=-11<0$ olur. Daima negatiftir.
O halde çelişki ispatlanır. $x=0$ olmalıdır veya $y=0$ olmalıdır.
$a)$ $x=0$ için $0^2-0+1=y^3$ buradan $y=1$ elde edilir. $2.$ eşitliği de sağladığı görülür.
$b)$ $y=0$ için $0^2-0=x^3$ buradan $x=0$ gelir ancak 1. eşitliği $(0,0)$ sağlamaz.
Buradan tek çözüm $(0,1)$ olarak bulunur.
-
$x^2-x+1$ ifadesini tamkare yaparsak $$4x^2-4x+4=(2x-1)^2+3=4y^3>0 \Rightarrow y>0$$ bulunur. $y=1$ için $(x,y)=(0,1)$ çözümü geldiği görülebilir.
$1>y>0$ ise $$x^3=y^2-y=y(y-1)<0 \Rightarrow x<0$$ bulunur. $$x^2-x+1=y^3<1 \Rightarrow x(x-1)<0$$ bulunur. $x<0$ olduğundan $x-1<-1<0$'dır. Dolayısıyla çarpımları pozitif olmalıdır. Çelişki.
Geriye kalan tek durum $y>1$ durumudur. $$x^3=y^2-y=y(y-1)>0 \Rightarrow x>0$$ bulunur. $$x^2-x+1=y^3>1 \Rightarrow x(x-1)>0$$ elde edilir. $x>0$ olduğundan $x-1>0$ olmalıdır. Buradan $x>1$ elde edilir. Şimdi $x$ ve $y$'i birbiriyle kıyaslayalım.
$i)$ $x=y$ ise $x^2-x+1=x^3$ bulunur. Bu denklemden $(x-1)(x^2+1)=0$ elde edilir. $x=1$ için $y=1$ olmalıdır fakat ikinci denklem sağlanmaz. Çelişki.
$ii)$ $x>y$ ise $$y^2-y=x^3>y^3 \Rightarrow 0>y(y^2-y+1)$$ bulunur. $y>1$ olduğundan $y$ ve $y^2-y+1$ ifadeleri pozitiftir, çarpımları da pozitif olmalıdır. Çelişki.
$iii)$ $x<y$ ise $$x^2-x+1=y^3>x^3\Rightarrow 0>(x-1)(x^2+1)$$ olur. $x>1$ ve $x^2+1>0$ olduğundan çarpımları da pozitiftir. Çelişki
Dolayısıyla çözüm gelen tek durum $y=1$ durumudur, $(x,y)=(0,1)$ tek çözümdür.
-
İlk denklemde her tarafı $x+1$ ile çarparak $y^3(x+1)=x^3+1$ bulunur. İkinci denklemden $x^3+1=y^2-y+1$ olduğunuda biliyoruz. Zaten $x^3=y^2-y$'den $x=\sqrt[3]{y^2-y}$ olduğu barizdir. Bunu kullanarak iki denklemi birleştirirsek $$y^3(\sqrt[3]{y^2-y}+1)=y^2-y+1\Rightarrow y^3(\sqrt[3]{y^2-y})=-(y-1)(y^2+1)\hspace{2mm}\text{ve}\hspace{2mm}$$$$y^{10}(y-1)=-(y^2+1)^3\cdot{(y-1)^3}$$ elde edilir. $y=1$ bir çözümdür. $y\neq 1$ ise $y-1$ ile sadeleştirmeyle $y^{10}=-(y-1)^2\cdot{(y^2+1)^3}$ elde edilir. Sol tarafın $\geq0$ sağ tarafın $\leq0$ olduğu açıktır. $0$ durumu için herhangi bir kesişim olmadığıda açıktır. Buradan çözüm gelmez. $y=1$ durumunu ilk denklemlerde denersek $x=0$'in tek çözüm olduğu açıktır. Denklemin $1$ çözümü vardır.