Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Temmuz 16, 2020, 12:54:23 ös

Başlık: m|126000 ve m nin bölenleri {çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 16, 2020, 12:54:23 ös

Soru (Lokman GÖKÇE): $m, n, k$ pozitif tam sayılar ve $m \mid 126000$, $n\mid m$, $k \mid n$ olacak biçimde kaç tane $(m,n,k)$ sıralı üçlüsü vardır?

Başlık: Ynt: m|126000 ve m nin bölenleri
Gönderen: Erdal1122 - Temmuz 16, 2020, 03:11:40 ös

Öncelikle $126000$'i çarpanlarına ayıralım.
$126000=2^4\cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot7$

Çarpanları çubuklar; $m, n, k$'yı artılar olarak düşünelim. Her bir sıralama için yalnızca bir $(m, n, k)$ üçlüsü gelecektir.

$|+||++|$
($2^4$ için $(m,n,k)=(2^3, 2^1, 2^1)$ örnek dizilimi. Artılar soldan sağa $m, n, k$ sırasında.)

Sonuç olarak $2^4$ için $\dbinom {7}{3}=35$, $3^2$ için $\dbinom {5}{3}=10$, $5^3$ için $\dbinom {6}{3}=20$, $7$ için $\dbinom {4}{3}=4$ farklı durum vardır. Cevap $35 \cdot 10 \cdot 20 \cdot 4=28000$'dir.

Başlık: Ynt: m|126000 ve m nin bölenleri
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 16, 2020, 03:45:44 ös

Benzer çözümü biraz daha detaylandırarak şöyle verebiliriz


Çözüm 2: $126000 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7$ dir.

$m = 2^{a_1} \cdot 3^{b_1} \cdot 5^{c_1} \cdot 7^{d_1} $
$n = 2^{a_2} \cdot 3^{b_2} \cdot 5^{c_2} \cdot 7^{d_2} $
$k = 2^{a_3} \cdot 3^{b_3} \cdot 5^{c_3} \cdot 7^{d_3} $

olmak üzere $a_1 , a_2 , a_3$ tam sayıları

$$ 0 \leq a_3 \leq a_2 \leq a_1 \leq 4 \tag{1} $$ eşitsizliğini sağlamalıdır. $a_2=a_3 + k_1$ ve  $a_1=a_2+k_2$ dersek $a_1 = a_3 + k_1 +k_2 \leq 4$ olur. Bunu da $$ a_3 + k_1 +k_2 +k_3 = 4 $$ denkleminin doğal sayılarda çözümüne indirgeyebiliriz. Dağılım prensibi gereğince bu denklemin ve dolayısıyla $(1)$ eşitsizliklerinin

$$ \dbinom{4+4-1}{4}=\dbinom{7}{4} $$

tane çözümü vardır. Benzer yolla

$0 \leq b_3 \leq b_2 \leq b_1 \leq 2 \tag{2}$
$0 \leq c_3 \leq c_2 \leq c_1 \leq 3 \tag{3}$
$0 \leq d_3 \leq d_2 \leq d_1 \leq 1 \tag{4}$
eşitsizliklerinin çözüm sayıları sırasıyla
$$ \dbinom{5}{2}, \dbinom{6}{3}, \dbinom{4}{1}$$
tane çözümü vardır. Çarpma prensibiyle $\dbinom{7}{4} \dbinom{5}{2}\dbinom{6}{3}\dbinom{4}{1}= 28000 $ tane $(m,n,k)$ üçlüsü elde edilir.

Başlık: Ynt: m|126000 ve m nin bölenleri {çözüldü}
Gönderen: geo - Temmuz 16, 2020, 10:46:56 ös

$126000 = ma_1$, $m = na_2$ ve $n = ka_3$ olsun. $126000 = a_1a_2a_3k$ olacaktır.

$2^4\cdot 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7^1 = a_1a_2a_3k$ problemi ile

"$4$ elma, $2$ armut, $3$ portakal, $1$ muz; $4$ çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılır."  problemi özdeştir.

$\dbinom{4+4-1}{4-1} \dbinom{2+4-1}{4-1} \dbinom{3+4-1}{4-1} \dbinom{1+4-1}{4-1} = \dbinom{7}{3} \dbinom{5}{3} \dbinom{6}{3} \dbinom{4}{3} = 28000$.

Not: Bu sorunun bir benzeri 5. Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatı, 2000, Lise 2-3, Soru 3 (http://matolimp.akdeniz.edu.tr/wp-content/uploads/2017/03/05.pdf)'te sorulmuş.