Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Haziran 28, 2020, 02:33:48 ös
-
Problem (Lokman GÖKÇE): $1\leq n \leq 2020$ olmak üzere
$$\dfrac{n^4 -1}{2020}$$
bir tam sayı olacak biçimde kaç $n$ tam sayısı vardır?
$\textbf{a)}\ 8 \qquad\textbf{b)}\ 12 \qquad\textbf{c)}\ 14 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Cevap: $\boxed{E}$
$n^4-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)$ ve $2020=2^2\cdot 5\cdot 101$'dir. Asıl çözüme geçmeden önce şunu hatırlayalım.
Lemma: $x^2\equiv -1\pmod{p}$ denkliğinin $p$ modundaki çözüm sayısı; $p$, $4k+3$ formatındaysa $0$, $4k+1$ formatındaysa $2$'dir.
Soruya dönecek olursak, $$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{4}\Rightarrow n\equiv 1,3 \pmod{4}$$ olur. $$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{5}$$ $n^2+1\equiv 0\pmod{5}$ denkliğinin $2$ çözümü olduğunu biliyoruz. Bu çözümler $n=1$ ve $n=-1$ ile çakışık olmadığından toplamda $4$ çözüm vardır. Benzer şekilde $n^2+1\equiv 0\pmod{101}$ denkliğinin de $2$ çözümü $n=1$ ve $n=-1$ ile çakışık olmadığından toplamda $4$ çözümü vardır. Çin kalan teoreminden $n^4-1\equiv 0\pmod{2020}$ denkliğinin $2\cdot 4\cdot 4=32$ çözümü vardır. Dolayısıyla sorudaki ifadeyi tam sayı yapan $32$ tane $n$ tam sayısı vardır.
-
Çözümde Çin Kalan Teoremi ve Lagrange Teoremi'ni kullanacağız. Bunu paylaşalım.
Çözüm 2: $2020=4 \cdot 5 \cdot 101$ olduğundan
$$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{4} \tag{1}$$
$$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{5}\tag{2}$$
$$n^4-1\equiv (n-1)(n+1)(n^2+1)\equiv 0\pmod{101}\tag{3} $$
denkliklerini çözmeliyiz.
$(1)$ in çözümleri için $n \equiv -1, 0, 1, 2 \pmod{4}$ denenirse $n \equiv \mp 1 \pmod{4}$ çözümleri bulunur.
$(2)$ nin çözümleri için $n \equiv -2,-1, 0, 1, 2 \pmod{5}$ denenirse $n \equiv \mp 1, \mp 2 \pmod{5}$ çözümleri bulunur. Elbette bu aşamada $(n,5)=1$ iken $n^4\equiv 1 \pmod{5}$ Fermat teoremi de uygulanabilir. Yine $4$ çözüm gelir.
$(3)$ ün çözümleri için $n \equiv -1, 1 \pmod{101}$ değerlerinin denkliği sağladığı görülüyor. $n^2 +1 \equiv 0 \pmod{101}$ denkliğini çözmeliyiz. Bunun için de $n^2 -100 \equiv 0 \pmod{101}$ yazıp iki kare farkı özdeşliği kullanılırsa $n \equiv -10, 10 \pmod{101}$ çözümleri bulunur. $m$-inci dereceden polinomum asal bir modda en fazla polinmum derecesi kadar kökü vardır (Lagrange). Bu durumda da toplam $4$ kök buluruz ve Lagrange Teoremi'nden dolayı daha fazla da kök olamaz.
Çin kalan teoreminden dolayı $n^4-1\equiv 0 \pmod{2020}$ denkliğinin $2 \cdot 4 \cdot 4 =32$ farklı çözümü vardır.