Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Haziran 03, 2020, 05:14:51 ös

Başlık: Crux 1975 Problem 15 - Hiperbol ve Diklik Merkezi {çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 03, 2020, 05:14:51 ös

Problem 15: Dikdörtgensel (diğer ismiyle ikizkenar) bir hiperbol üzerinde alınan üç farklı nokta $A$, $B$, $C$ ise $ABC$ üçgeninin diklik merkezinin de hiperbol üzerinde bulunacağını kanıtlayınız.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6775.0;attach=15411;image)

Notlar:
1. $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. $ABC$ üçgeninin kenar orta noktaları, $ABC$ üçgeninin dikme ayakları ve $[AH]$, $[BH]$, $[CH]$ doğru parçalarının orta noktaları (dokuz nokta) çemberseldir. $ABC$ üçgeninin dokuz nokta çemberi olarak isimlendirilir.

2. Burada (https://mathworld.wolfram.com/RectangularHyperbola.html), $ABC$ üçgeninin dokuz nokta çemberinin, ikizkenar hiperbolün merkezinden geçtiği de ifade edilmiştir. Bu özelliğin ispatını da ayrı bir problem olarak soralım.

Başlık: Ynt: Crux 1975 Problem 15 - Hiperbol ve Diklik Merkezi
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 08, 2020, 11:57:21 öö

Çözüm:

Analitik düzlemde koordinat eksenlerini döndürerek $x^2 - y^2 = k^2$ denklemine sahip ikizkenar bir hiperbolü $xy=a$ biçimindeki bir denkleme dönüştürebileceğimizi biliyoruz. Bu hiperbolün üstünden $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ noktalarını alarak $ABC$ üçgenini oluşturalım. $y_1=\dfrac{a}{x_1}$, $y_2=\dfrac{a}{x_2}$, $y_3=\dfrac{a}{x_3}$ olur. $AC$ doğrusunun eğimi $m_{AC}=\dfrac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}=-\dfrac{a}{x_1 x_3}$ dir. Birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı $-1$ olduğundan $m_{AC}\cdot m_{BH} = -1$ olup
$$m_{BH} = - \dfrac{x_1  x_3}{a}$$
bulunur. $B$ den geçen yükseklik doğrusunun denklemi $y-y_2 = m_{BH}(x-x_2)$ dir. Bu doğrunun hiperbolle kesişim noktası $H'(x_0, y_0)$ olsun. $y_0 = \dfrac{a}{x_0}$ olur. $H'(x_0, y_0)$ noktasını bu yükseklik doğrusunun denkleminde yazarak
$$x_0=-\dfrac{a^2}{x_1 x_2 x_3}$$
bulunur. $x_0=-\dfrac{a^2}{x_1 x_2 x_3}$ değeri $x_1$, $x_2$, $x_3$ için simetik olduğundan $AH$ ve $CH$ doğrularının da hiperbolü kestiği noktalar hesaplanırsa aynı $H'(x_0, y_0)$ noktasında kestiğini anlarız. Öte taraftan; bir üçgende üç yükseklik noktadaş olduğundan (yani $H$ diklik merkezinde kesiştiğinden) $H=H'$ aynı noktadır. Böylece $ABC$ üçgeninin $H$ diklik merkezi hiperbol üzerinde bulunur.



Not: Bu güzel sorunun çözümünü Geometer's Sketchpad programıyla da destekleyerek burada (https://www.youtube.com/watch?v=D98sjjDQfi0) video sundum.