İspat: İç teğet çember $[AB]$, $[BC]$ kenarlarına sırasıyla $K$, $L$ noktlarında değsin. $ABCD$ kirişler dörtgeni olduğundan $A$ ve $C$ deki iç açılar bütünlerdir. Böylece $m(\widehat{BAI}) + m(\widehat{ICB})=90^\circ$ dir. $|IK|=|IL|=r$ dir. $AIK$ ve $CIL$ üçgenleri; dik kenarları $|AI|$, $|CI|$ ve hipotenüsü $|AK|+|CL|$ olacak biçimde birleştirilebilir. Alan bağıntısından
$r\cdot (|AK|+|CL|) = |AI|\cdot |CI| \tag{1}$
ve Pisagor teoreminden
$(|AK|+|CL|)^2 = |AI|^2 + |CI|^2 \tag{2}$
olur.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6760.0;attach=15400;image)
$(1)$ ve $(2)$ den $r^2\cdot (|AI|^2+|CI|^2)=|AI|^2\cdot |CI|^2$ olup
$\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{1}{|AI|^2} + \dfrac{1}{|CI|^2} \tag{3}$
elde edilir. $AI$ ve $CI$ doğruları çevrel çemberi sırasıyla $F$, $E$ noktalarında kessin.
$$\begin{array}{lll}
m(\widehat{DOF})+m(\widehat{DOE}) & = & 2( m(\widehat{DAF})+m(\widehat{DCE}) ) \\
& = & m(\widehat{BAD})+m(\widehat{BCE})=180^\circ
\end{array}
$$
olduğundan $[EF]$ çevrel çemberin çapıdır. $EIF$ üçgeninde $|IO|$ kenarortayının uzunluk bağıntısından
$|EI|^2 + |FI|^2 = 2|IO|^2+ \dfrac{|EF|^2}{2}=2(d^2+R^2) \tag{4}$
elde edilir. $I$ noktasının çevrel çembere göre kuvvetinden
$|AI|\cdot |FI| = |CI| \cdot |EI| = R^2 - d^2 \tag{5}$
olur. $(4)$ ve $(5)$ ten
$$
\begin{array}{lll}
\dfrac{1}{|AI|^2} + \dfrac{1}{|CI|^2} & = & \dfrac{|FI|^2}{(R^2 -d^2)^2} + \dfrac{|EI|^2}{(R^2 -d^2)^2} \\
&=& \dfrac{|EI|^2 + |FI|^2}{(R^2- d^2)^2} \\
&=& \dfrac{2(R^2 + d^2)}{(R^2 - d^2)^2} \\
\end{array} \tag{6}
$$
olur. $(3)$ ve $(6)$ dan
$$ \begin{array}{lll}
\dfrac{1}{r^2} = \dfrac{2(R^2 + d^2)}{(R^2 - d^2)^2} & = & \dfrac{(R+d)^2 + (R-d)^2}{(R^2 - d^2)^2} \\
&=& \dfrac{1}{(R+d)^2} + \dfrac{1}{(R-d)^2}
\end{array} $$
sonucuna ulaşılır.
Dipnot: Bu zarif çözümü Juan Carlos Salazar 2006'da Mathematical Magazine'de sunmuştur.