Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 05, 2020, 06:31:37 ös
-
Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6748.msg19470#msg19470) konusunda anlatılan $(k_2 = 1, N=1)$ problemine ait çözümleri doğrudan ya da dolaylı olarak (ilgili konuya link vererek) bu başlık altında toplayacağız.
Öncelikle, soruyu hatırlatmak gerekirse;
$ABC$ üçgeninin $BC$ kenarı üzerinde $AB:DC=1$ olacak şekilde $D$ noktası alınıyor. $\angle ABC = b = x$, $\angle ACB = c = x/2$, $\angle BAC = a = 180^\circ - 3x/2$, $\angle ADC = d = 180^\circ - x$, $\angle BAD = a_1 = 180^\circ - x$, $\angle CAD = a_2 = x/2$ açıları verilen şartı sağlamakta. Bunlardan herhangi ikisi verildiğinde diğerlerinin bulunmasının sorulduğu sorular aşağıdaki tabloda verilmiştir.
$$
\begin{array}{l|l|l||l|}
k & N & \textbf{Soru} & \textbf{Cevap} \\
\hline
k_2 = 1 & 1.1 & (k_2 = 1, b=x, c = x/2) & a_1 = 180^\circ - 2x \\
& 1.2 & (k_2 = 1, a=180^\circ - 3x/2, d = 180^\circ -x) & a_1 = 180^\circ - 2x \\
& 1.3 & (k_2 = 1, b=x, a_1 = 180^\circ -2x) & a_2 = x/2 \\
& 1.4 & (k_2 = 1, b=x, a_2 = x/2) & a_1 = 180^\circ - 2x \\
&1.5^* & (k_2 = 1, c=x/2, a_1 = 180^\circ - 2x) & a_2^* = x/2 \\
& 1.6 & (k_2 = 1, c=x/2, a_2 = x/2) & a_1 = 180^\circ - 2x \\
& 1.7 & (k_2 = 1, a_1=180^\circ - 2x , a_2 = x/2) & b = x \\
\end{array}
$$
İlgili soruların forumda işlendiği başlıklar:
1.1 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=3890.msg19486#msg19486)
1.2 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6751.0)
1.3 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6752.msg19488#msg19488)
1.4 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6749.0)
1.5 (*: Bu soru için birden fazla cevap vardır ve cevaplar arasında basit bir ilişki yoktur.)
1.6 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6752.msg19488#msg19488)
1.7 (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6750.0)
-
$(k_2 = 1, N=1.3)$ ve $(k_2 = 1, N=1.6)$ soruları ilköğretim ayarında açı sorusu olup $AB=AD=DC$ eşitliği hemen yazılıp sonuca ulaşılabiliyor.
Bu soru tipine ait $5.$ model hariç tüm soru modellerinde açı kenar bağıntıları kullanarak
- $AB\overset{?}{>}AD$ ve $CD \overset{?}{>} AD$
- $AB\overset{?}{<}AD$ ve $CD \overset{?}{<} AD$
testlerini yaptığımızda çelişki elde ederiz. Bu da $AB = CD = AD$ olduğu anlamına gelir.
Örn.
$(k_2 = 1, N=1.4)$ için bu yöntemle yapılmış bir çözüm (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6749.msg19482#msg19482) mevcuttur.
$(k_2 = 1, N=1.5)$ için
$a_1 = 180^\circ - 2x$, $c = x/2$ ve $\angle DAC = a_2 =y$ dersek, $b = 3x/2 - y$, $\angle ADB = x/2 + y$ olacaktır.
$AB > AD$ den $x/2 + y > 3x/2 - y \Rightarrow y > x/2$; $DC > AD$ den $y > x/2$ elde ederiz. Bu da bizi bir yere götürmez.
$N=1.5$ için $y = x/2$ çözümünün üçgen şartlarını sağladığını kolayca görebiliriz; fakat başka bir çözüm olup olmadığı konusunda emin değilim. Yani $(k_2 = 1, N=1.5)$ problemi şu an için açık bir soru.
-
$N=1.5$ problemi, belki daha doğrusu $(k_2, N=x.5)$ problemleri $2$ cevap içerebiliyor.
$\triangle ABC$ ve $D$ noktası bu probleme ait bir çözüm olmak üzere; $ABC$ çevrel çemberi üzerndeki $P$ noktaları için de $\angle ACB = APB$ olacaktır. $BP$ üzerinde $PD' = CD$ olacak şekilde alınan $D'$ noktalarının geometrik yeri Geogebra'ya tahmini olarak hesaplatılınca şekildeki gibi bir eğri olarak elde ediliyor.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6752.0;attach=15378;image)
Bu eğri ile $AD$ doğrusu $D$ den farklı bir noktada daha kesişebiliyor. Birkaç denemede bu diğer noktanın açılarının genelde kolay hesaplanabilir değerler olmadığı (Burada (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6758.0) kolay hesaplanabilen bir örnek yer alıyor.) ortaya çıkıyor.
Yukarıdaki çıkarımların doğruluğunu ispat etmek için $AD$ doğrusu ile $D'$ geometrik yerinin en fazla iki noktada kesiştiğinin gösterilmesi gerekir. Bu da şu an için açık bir soru.
Özetle $N=1.5$ soru ailesini sağlayan değerlerden birini bulabiliyoruz, diğerinin hesaplanması pek kolay değil. Onun için bazı özel durumlar için $x.5$ soru aileleri pek çözülebilir sorular değil.