Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: geo - Mayıs 03, 2020, 09:43:32 ös
-
$ABC$ üçgeninde $BC$ kenarı üzerinde $D$ noktası $AB = CD$ olacak şekilde alınıyor. $\angle ABC = 2\cdot \angle DAC$ ise $\angle ACB = \angle DAC$ olduğunu gösteriniz.
Not: Bu problem $(k_2=1, N=1.4)$ ya da diğer bir deyişle $(k_2=1, b=x, a_2=x/2)$ soru ailesine aittir. bkz. Üçgende Kesenin Kenarlarla Yaptığı Açı Üzerine (https://geomania.org/forum/index.php?topic=6748.msg19470#msg19470)
-
Çözüm: Utku Cem KARABULUT
ABC'nin açıortay doğrusu üzerindeki K noktası için AKB ikizkenar üçgeni çizilirse m(CBK)=m(AKB) olduğu için AK // BC'dir. Öte yandan |AK|=|DC| olduğundan AKDC parelelkenardır. Dolayısı ile|KC|=|AD| ve m(ACK)=m(CAD). Son olarak m(ABK)=m(KCA) olduğundan ABKC kirişler dörtgeni (ikizkenar yamuk) olmalıdır. O halde |KC|=|AD|=|AB|=|AK|=|DC|'dir. Buradan istenen eşitlik kolaylıkla görülebilir.
-
Çözüm 2 (Lokman GÖKÇE):
$|AB|=|CD|=x$, $|AD|=y$, $m(\widehat{CAD})=\alpha$, $m(\widehat{ABD})=2 \alpha$, $m(\widehat{ACD})=\beta$ diyelim. $m(\widehat{ADB})=\alpha + \beta $ olur. $ABD$ ve $ACD$ üçgenlerinde sinüs teoremini uygularsak $$ \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{\sin 2\alpha} $$ olur. Bu denklemi çözelim:
$\quad \quad \sin\alpha \sin2\alpha = \sin (\alpha+\beta) \sin\beta $
$\implies \cos\alpha -\cos 3\alpha = \cos\alpha - \cos(\alpha + 2\beta) $
$\implies 3\alpha = \alpha + 2\beta +2k\pi$ (Üçgende $k\in \mathbb Z$ için sadece $k=0$ mümkündür.)
$\implies \alpha = \beta $ elde edilir.
-
$\angle ABC$ nin açıortayı $AC$ 'yi $E$ de kessin. $\angle EBC = \angle EAD$ olduğu için $ABDE$ kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\angle EDA = \angle EBA \Rightarrow AE = ED$ ve $\angle EDC =\angle BAE$. $DC =AB$ olduğu için $\triangle ABE \cong \triangle DCE$ $(KAK)$. Bu durumda $EC = EB$, yani $\angle ACD = \angle ABC / 2$. $\blacksquare$
-
$\angle ABD = 2x$, $\angle DAC = x$ ve $\angle ACB = y$ olsun. $\angle ADB = x+y$ olacaktır.
$AB > AD$ ve $DC > AD$ için üçgen eşitsizliklerini yazarsak $x+y > 2x \Rightarrow y > x$ ve $x>y$. Çelişki.
$AB < AD$ ve $DC < AD$ için üçgen eşitsizliklerini yazarsak $x+y < 2x \Rightarrow y < x$ ve $x<y$. Çelişki.
Bu durumda $x=y$ olur. $x=y$ durumunun sağlandığı kolayca görülebilir.
-
$BAEC$ paralelkenarını kuralım. $AB=CD=EC$ ve $\angle ECD = 180^\circ - \angle ABC$ olduğu için $\angle DEC = \angle EDC = \angle ABC/2 = \angle DAC$ elde edilir. Bu da $AECD$ nin kirişler dörtgeni (ikizkenar yamuk) olduğu anlamına gelir. $\angle EDC = \angle EAC = \angle ACD = \angle CAD$.