Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: utku_2178 - Nisan 30, 2020, 11:15:28 ös

Başlık: Üçgende Kenar Uzunlukları Oranı
Gönderen: utku_2178 - Nisan 30, 2020, 11:15:28 ös

$ABC$ bir üçgen, $D \in |BC|$ ve $E \in |AD|$ olmak üzere $|AD| = |BE| = |BD| = |CE|$ ve $ \dfrac {|AC|}{|BE|}=\sqrt 2$ ise $m(\widehat {ECB})$ kaçtır?

Hazırlayan: Utku Cem KARABULUT

Başlık: Ynt: Üçgende Kenar Uzunlukları Oranı
Gönderen: geo - Mayıs 01, 2020, 04:03:50 ös

$AB=m$, $ED=a$, $CD=x$, $BE=BD=EC=AD=1$ dersek; $AE=1-a$, $AC=\sqrt 2$ olur.

$\triangle BEC$ de Stewart'ın özel halinden $1 = a^2 + 1\cdot x \Rightarrow x = 1-a^2$.

$\triangle ABD$ de Stewart'tan ya da Stewart'ın özel halinden doğrudan  $m^2 - 1 = (1-a)1 \Rightarrow m^2 = 2 - a$.

$\triangle ACD$ de Stewart'tan elde edilen $\dfrac {2a + x^2(1-a)}{1-a + a} - a(1-a) = 1$ denkleminde $x=1-a^2$ yazarsak $2a + (1-a^2)^2(1-a) = 1 + a(1-a)$ elde ederiz. Sadeleştirdiğimizde $-a^5 + a^4 + 2a^3 - a^2 = 0 \Rightarrow -a^3 + a^2 + 2a - 1 = 0$ elde ederiz.

$-a^3 + 2a^2 - a^2 +2a -1 = 0 \Rightarrow a^2(2-a) = (1-a)^2 \Rightarrow 2-a = \dfrac {(1-a)^2}{a^2}$. Buradan da $m = \dfrac{1-a}{a}$ elde edilir. Son durumda $\triangle ABD$ de $BE$ bir iç açıortaydır. $\angle ABE = \angle EBC = \angle ECB = \alpha $ dersek $\angle ABD = \angle BAD = 2\alpha$ ve $\angle BDE = \angle BED = 3\alpha$ olacaktır. $\triangle BED$ de iç açıların toplamından $\alpha +3\alpha + 3\alpha = 180^\circ \Rightarrow \alpha = \dfrac{180^\circ}{7} = \dfrac{\pi}{7}$ olur. $\blacksquare$


Not: Bu soru ayrıca aşağıdaki soruyu doğuruyor:

$A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ düzgün yedigen olmak üzere; $A_1A_7$ ile $A_3A_6$ $X$ noktasında, $A_1A_3$ ile $A_6A_7$ $Y$ noktasında kesişsin. $\dfrac {XY}{A_3A_7} = \sqrt 2$ olduğunu gösteriniz.

Başlık: Ynt: Üçgende Kenar Uzunlukları Oranı
Gönderen: Lokman Gökçe - Mayıs 01, 2020, 05:10:12 ös

Giriş kısmıda yukarıda olduğu gibi Stewart teoremi kullanarak bir çözüm bulmuştum. Aynı notasyonları kullanarak devam edelim.



Çözüm 2 (Lokman Gökçe):

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6745.0;attach=15321;image)

$a^3-a^2-2a+1=0$ ve $x=1-a^2$ eşitliklerine sahibiz. Buna göre $x=1-a^2=2a-a^3$ yazılırsa $\dfrac{x}{a}=2-a^2$ olur. $2-a^2=x+1=\dfrac{x+1}{1}$ olarak yazılırsa
$$ \dfrac{x}{a}= \dfrac{x+1}{1} \tag{1}$$
olur. Öte taraftan $FB \parallel ED$ çizilirse $FBC \sim EDC$ (açı-açı-açı benzerliği) olur. Buradan
$$ \dfrac{x}{a}= \dfrac{x+1}{|FB|} \tag{2}$$
bulunur. $(1)$ ve $(2)$ eşitliklerinden $|FB|=1$ dir. $m(\widehat{BFE})=m(\widehat{BEF})=2\alpha $ ve $m(\widehat{FBC})=90^\circ + \dfrac{\alpha}2$ olup $FBC$ üçgeninde iç açılar toplamından $2\alpha + \alpha + 90^\circ + \dfrac{\alpha}2 = 180^\circ$ yazılır. Buradan $\alpha=\dfrac{180^\circ}{7}=\dfrac{\pi}7$ elde edilir.



Not: $\dfrac{\pi}7$ açı ölçüsüne sahip bir başka problem de Darij Grinberg (http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/geometry2.html)'in sayfasında pdf olarak mevcuttur. Fakat ondan önce de 2003'te aynı problem burada (https://artofproblemsolving.com/community/c6h1439) sorulup çözülmüş. (O problemin de daha eski bir geçmişi olabilir.) İlgilenenler için bağlantıları sunmuş olalım.

Başlık: Ynt: Üçgende Kenar Uzunlukları Oranı
Gönderen: utku_2178 - Mayıs 01, 2020, 06:27:13 ös

Alıntı yapılan: scarface - Mayıs 01, 2020, 05:10:12 ös

Not: $\dfrac{\pi}7$ açı ölçüsüne sahip bir başka problem de Darij Grinberg (http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/geometry2.html)'in sayfasında pdf olarak mevcuttur. Fakat ondan önce de 2003'te aynı problem burada (https://artofproblemsolving.com/community/c6h1439) sorulup çözülmüş. (O problemin de daha eski bir geçmişi olabilir.) İlgilenenler için bağlantıları sunmuş olalım.

Linkte verdiğiniz problem Zihin-15 ismi ile de biliniyor. Matematik Dünyasının eski bir sayısında Mustafa Yağcı tarafından çözülmüştü.