Çözüm (L. Gökçe):
$\dfrac{1}{|AP|} = \dfrac{1}{|PC|} + \dfrac{1}{|BC|} \tag{1}$
denklemi veriliyor. $APC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olsun. $m(\widehat{AOP})=2\cdot m(\widehat{ACP})=60^\circ $ olduğundan $AOP$ üçgeni eşkenardır. Ayrıca yarıçap eşitliğinden $|CO|=|OA|=|OP|=|AP|=|PB|$ yazılabilir. Böylece $APB \cong AOC $ olur. $m(\widehat{ABP})=m(\widehat{BAP}) = m(\widehat{OAC})=m(\widehat{OCA})=y$ diyelim. $BCOP$ üçüzkenar yamuğunda $m(\widehat{PCB})=m(\widehat{OPC}) = m(\widehat{OCP})=x$ dersek $m(\widehat{PBC})=2x$ olur. $x+y=30^\circ $ olduğunu görmek kolaydır.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6744.0;attach=15316;image)
Şimdi $APC$ ve $BPC$ üçgenlerinde sinüs teoremini uygularsak
$|AP|=\dfrac{|PC|}{2\sin(60^\circ +y)}=\dfrac{|PC|}{2\sin(90^\circ - x)} \tag{2}$
$|BC|=\dfrac{|PC|\sin(3x)}{\sin(2x)} \tag{3}$
olur. $(2)$ ve $(3)$ eşitliklerini $(1)$ bağıntısında yazarsak
$\quad \quad 2\sin(90^\circ - x) = 1 + \dfrac{\sin(2x)}{\sin(3x)}$
$\implies 2\sin(3x) \cos(x) = \sin(3x) + \sin(2x)$
$\implies \sin(4x) + \sin(2x) = \sin(3x) + \sin(2x)$ (Burada $2\sin a \cos b = \sin(a+b) + \sin(a-b)$ dönüşüm formülü kullanıldı.)
$\implies \sin(4x) = \sin(3x) $
olup $0^\circ < x < 30^\circ $ aralığındaki tek çözüm $x=\dfrac{180^\circ}{7}=\dfrac{\pi}{7}$ dir. Buna göre $m(\widehat{BAC})=\dfrac{8\pi}{21}$ dir.