Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise Takım Seçme => 2020 => Konuyu başlatan: Eray - Mart 08, 2020, 11:44:16 öö
-
$A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ teğetler dörtgeninin çevre uzunluğu $p_{1}$, köşegenlerinin uzunlukları toplamı $k_{1}$ ve $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ teğetler dörtgeninin çevre uzunluğu $p_{2},$ köşegenlerinin uzunlukları toplamı $k_{2}$ olmak üzere
$$p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}$$
ise $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ ve $B_{1} B_{2} B_{3} B_{4}$ dörtgenlerinin eş kareler olduğunu gösteriniz.
(Fehmi Emre Kadan)
-
$A_1A_2A_3A_4$ dörtgeni için Ptolemy eşitsizliğinden $$|A_1A_2|\cdot |A_3A_4|+|A_1A_4|\cdot |A_2A_3|\geq |A_1A_3|\cdot |A_2A_4|\tag{1}$$ olur. Ayrıca paralelkenar eşitsizliğinden $$|A_1A_2|^2+|A_2A_3|^2+|A_3A_4|^2+|A_4A_1|^2\geq |A_1A_3|^2+|A_2A_4|^2\tag{2}$$ olduğunu biliyoruz. $(1)$ no'lu eşitsizliği $2$ ile çarpıp $(2)$ no'lu eşitsizlikle toplarsak $$\left ( |A_1A_2|+|A_3A_4| \right )^2+\left ( |A_1A_4|+|A_2A_3| \right )^2\geq \left ( |A_1A_3|+|A_2A_4| \right )^2$$ elde ederiz. $A_1A_2A_3A_4$ dörtgeni, teğetler dörtgeni olduğundan $|A_1A_2|+|A_3A_4|=|A_1A_4|+|A_2A_3|=\dfrac{p_1}{2}$ eşitliği sağlanır. $|A_1A_3|+|A_2A_4|=k_1$ olduğundan $$\dfrac{p_1^2}{2}\geq k_1^2\Rightarrow p_1^2\geq 2k_1^2$$ elde edilir. Aynı işlemleri $B_1B_2B_3B_4$ teğetler dörtgenine uygularsak, benzer şekilde $p_2^2\geq 2k_2^2$ elde ederiz. Elde ettiğimiz eşitsizlikleri toplayalım. $$p_1^2+p_2^2\geq 2\left (k_1^2+k_2^2 \right)\Rightarrow \left (k_1+k_2\right )^2\geq 2\left (k_1^2+k_2^2 \right)\Rightarrow 0\geq (k_1-k_2)^2\Rightarrow k_1=k_2$$ bulunur. Elde ettiğimiz son eşitsizlikte eşitlik durumu olduğundan önceki tüm eşitsizliklerde de eşitlik durumu sağlanmalıdır. Ptolemy eşitsizliğinin eşitlik durumu kirişler dörtgeni olmak ve paralelkenar eşitsizliğinin eşitlik durumunun paralelkenar olmak olduğundan $A_1A_2A_3A_4$ ve $B_1B_2B_3B_4$ dörtgenlerinin dikdörtgen olması gerekir ve bu dörtgenler ayrıca teğetler dörtgeni olduklarından dolayı kare olmak zorundadırlar. $k_1=k_2$ elde ettiğimiz için bu karelerin köşegen uzunlukları birbirlerine eşittir. Dolayısıyla $A_1A_2A_3A_4$ ve $B_1B_2B_3B_4$ teğet dörtgenleri eş karelerdir.