Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mart 01, 2020, 02:46:35 ös
-
$(\sqrt{2}+1)^{3000}$ sayısının ondalık yazılışında virgülden sonraki $1000.$ basamakta bulunan rakam kaçtır?
Kaynak: matkafası (http://matkafasi.com/7364/sqrt2-3000-sayisinin-virgulden-sonraki-%241000-basamagi-nedir#c125042)
-
Aranan rakam $\boxed{9}$ dur.
Çözüm:
$a,b$ birer pozitif tam sayı olmak üzere $(\sqrt{2} + 1)^{3000}=a + \sqrt{2}b$ biçimindedir. Benzer fikirle $(\sqrt{2} - 1)^{3000}=a - \sqrt{2}b$ dir! Sadece $\sqrt{2}$ irrasyonel kısmının katsayısının işaret değiştirdiğini gözlemlemek yeterlidir. Dolayısıyla
$$ (\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a $$
biçiminde bir çift tam sayı olur. Öte taraftan $(\sqrt{2} - 1)^{3000} $ pozitif sayısı $0$ a çok yakındır. Bakalım işimize yarayacak kadar yakın mıymış?
Öncelikle $ \sqrt{2} < 1,45$ olduğunu her iki tarafın karesini alarak görebiliriz. Buna göre $ \sqrt{2}-1 < 0,45 $ tir. Şimdi $ (\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{45^3}{10^6} = \dfrac{91125}{10^6} < \dfrac{10^5}{10^6} $ olup
$$ (\sqrt{2}-1)^3 < \dfrac{1}{10}$$
buluruz. İşte bu çok iyi oldu! Soruya abanmaya devam edelim:
$(\sqrt{2}-1)^{3000} < 10^{-1000}$ ve $ (\sqrt{2} + 1)^{3000} + (\sqrt{2} - 1)^{3000} =2a $ olduğundan
$$ 2a-10^{-1000} < (\sqrt{2} + 1)^{3000} <2a $$
olup $(\sqrt{2} + 1)^{3000} $ sayısının virgülden sonraki en az $1000$ basamağının $9$ ile bittiğini anlarız.