Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ocak 23, 2020, 12:43:01 ös

Başlık: $2019^8 +1$ sayısının en küçük tek asal böleni {çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Ocak 23, 2020, 12:43:01 ös

Soru (2019 AIME): $2019^8 +1$ sayısının en küçük tek asal böleni kaçtır?

Başlık: Ynt: $2019^8 +1$ sayısının en küçük tek asal böleni
Gönderen: berksel03 - Nisan 18, 2020, 11:21:50 ös

Cevap:$97$
$2019^8+1 \equiv 0 \pmod{p}$ $\Longrightarrow$ $2019$^$16$ $\equiv 1 \pmod{p}$
Fermat teoremi gereğince, $16 \mid (p-1)$. En küçük sayıyı aradığımız için önce $17$'ye bakalım.
$2019^8+1 \equiv 0 \pmod{17}$ kabul edelim.
$2019^8+1 \equiv 13^8+1 \equiv 169^4+1 \equiv (-1)^4+1 \equiv 2 \pmod{p}$ olduğundan kabulümüz yanlıştır.
$16 \mid (p-1)$'i sağlayan bir sonraki asal sayı $97$'dir. Şimdi aynı kabulü $97$ için yapıp doğruluğunu görelim.
$2019^8+1 \equiv 18^8+1\equiv 324^4+1 \equiv 33^4+1 \equiv 1084^2+1 \equiv 22^2+1 \equiv 485\equiv 0 \pmod{97}$ olduğundan kabulümüz doğrudur ve yanıt $97$'dir.