Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2019 => Konuyu başlatan: Eray - Ocak 07, 2020, 10:20:10 öö
-
$x$, $y$, $z$ pozitif gerçel sayıları $xy+yz+zx=x^5+y^5+z^5$ eşitliğini sağlıyorsa $$x^2y+y^2z+z^2x\le3$$ olduğunu gösteriniz.
-
$A.O \geq G.O$ eşitsizliğinden;
$x^5+y^5+1+1+1 \geq 5xy$
$y^5+z^5+1+1+1 \geq 5yz$
$z^5+x^5+1+1+1 \geq 5xz$
Eşitsizliklerinin taraf tarafa toplanmasıyla:
$2(x^5+y^5+z^5) + 9 \geq 5(xy+xz+yz)$ $\Longrightarrow$ $ 3 \geq (xy+xz+yz)$ $(*)$
Yine $A.O \geq G.O$ eşitsizliğinden;
$x^5+x^5+y^5+1+1 \geq 5x^2y$
$y^5+y^5+z^5+1+1\geq 5y^2z$
$z^5+z^5+x^5+1+1\geq 5z^2x$
Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplayarak:
$3(x^5+y^5+z^5)+6 \geq 5(x^2y+y^2z+z^2x)$. Daha önce elde ettiğimiz $(*)$ eşitsizliğini de kullanarak;
$9+6 \geq 3(x^5+y^5+z^5) \geq 5(x^2y+y^2z+z^2x)$
$3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$. Eşitlik durumu $x=y=z=1$ için sağlanır.
-
$$x^2y+y^2z+z^2x\leq \dfrac{3\left(x^5+y^5+z^5\right)}{xy+yz+zx}=3$$
olduğunu gösterirsek problem çözülmüş olur
$$\rightarrow \left(x^3y^2+y^3z^2+z^3x^2\right)+\left(xy^3z+yz^3x+zx^3y\right)+\left(x^2yz^2+y^2zx^2+z^2xy^2\right)\leq 3\left(x^5+y^5+z^5\right)$$
ki bu ifade $(5,0,0)\prec (3,2,0),(3,1,1),(2,2,1)$ olduğundan doğrudur.
(Benim yaptığım bir çözüm fakat benzerlerinin AoPS forumunda mevcut olduğunu şimdi gördüm.)
-
Genelleştirme 1
$x,y,z$ pozitif gerçel sayıları $x^{p}y^{r}+y^pz^r+z^px^r=x^{k}+y^k+z^k$ eşitliğini sağlıyorsa
$$x^{\alpha}y^{k-p-r-\alpha}+y^{\alpha}z^{k-p-r-\alpha}+z^{\alpha}x^{k-p-r-\alpha}\leq 3$$
olduğunu gösteriniz.
-
Genelleştirme 2
$x_{1},x_{2},x_{3}$ pozitif gerçel sayıları $\sum_{cyc}{x_{1}^{p}x_{2}^{r}}=x_{1}^{k}+x_{2}^k+x_{3}^k$ eşitliğini sağlıyorsa
$$\sum_{cyc}{x_{1}^{\alpha}x_{2}^{k-p-r-\alpha}}\leq n$$
olduğunu gösteriniz.
-
Son genelleştirmede ikili çarpım yerine üçlü,dörtlü ya da doğru koşullar altında istenen kadar değişken çarpımı oluşturabilir ve bunun sonucunda da $p+r$ kuvvet toplamı dağıtılabilir.
-
Genelleştirme 3
$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\in \mathbf{R^+}$ ve $p_{1},p_{2},\cdots,p_{n},r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}$ negatif olmayan reel sayılar olmak üzere
$$\sum_{cyc}{x_{1}^{p_{1}}x_{2}^{p_{2}}\cdots x_{n}^{p_{n}}}=\sum_{cyc}{x_{1}^{k}}$$
$$k=\sum_{cyc}{r_{1}}+\sum_{cyc}{p_{1}}$$
eşitlikleri sağlanıyorsa
$$\sum_{cyc}{x_{1}^{r_{1}}x_{2}^{r_{2}}\cdots x_{n}^{r_{n}}}\leq n$$
olduğunu gösteriniz.
-
$$\sum_{cyc}{p_{1}}=2,\sum_{cyc}{r_{1}}=3,k=5,n=3$$
değerleri verildiğinde problem Ortaokul 2.Aşama 2019 #2 (https://geomania.org/forum/index.php?action=post;topic=6695.0;last_msg=24011)'ye dönüşür.