Cevap: $\boxed{4}$
$A.O.$$\geq$$G.O.$ eşitsizliğinden
$(\sqrt{ab}-1)^2$$\geq$$(a-1)(b-1)$
$(\sqrt{bc}-1)^2$$\geq$$(b-1)(c-1)$
$(\sqrt{ac}-1)^2$$\geq$$(a-1)(c-1)$
Taraf tarafa çarparsak
$-1$$\leq$$(a-1)(b-1)(c-1)$$\leq$$1$ *
İfadeleri $a - \dfrac bc,\ b - \dfrac ca,\ c - \dfrac ab$ ve $\ a - \dfrac cb, \ b - \dfrac ac, \ c - \dfrac ba$ olarak üçerli gruplandıralım.
Varsayalım ki $a - \dfrac bc,\ b - \dfrac ca,\ c - \dfrac ab$ elemanlarından hepsi $1$'den büyük olsun.
$a-1>\dfrac bc$
$b-1>\dfrac ca$
$c-1>\dfrac ab$
olacaktır. Taraf tarafa çarparsak
$(a-1)(b-1)(c-1)$$>$$1$
elde edilir ki bu * ile çelişir. Aynı işlemleri grupladığımız diğer üçlü için de yaparsak çelişki yine görülebilir. Her iki üçlüden de en az birer eleman birden küçük veya eşit olacağından maksimum $4$ tane eleman için bu sağlanabilir. $4$ eleman için sağlanacağını gösterirsek soru biter. Daha sade ifadeler elde etmek için $a$$\geq$$b=c$ kabul edelim. Bu durumda
$a - \dfrac bc, \ a - \dfrac cb, \ b - \dfrac ca, \ c - \dfrac ba>1$ ve $\ b - \dfrac ac, \ c - \dfrac ab<1$
olur. Bu eşitsizliklerden elde edilebilecek bilgiler $a>2$, $\ b - \dfrac ba>1$, $\ b - \dfrac ab<1$
Ayrıca $b$$\leq$$2$ olmalıdır. Aksi takdirde $$(\sqrt {ab}-1)(\sqrt{bc} - 1)(\sqrt {ca} - 1)=1$$ eşitliği için bu sorun teşkil edecektir.
Şimdi $\ b - \dfrac ba>1$, $\ b - \dfrac ab<1$ eşitsizliklerini düzenleyip $a$'yı tek bırakırsak $ab-b>a>$ $b$2$-b$. Ana denklemden elde ettiğimiz $\sqrt{a}=$$\frac{1} {\sqrt{b}}+$$\frac{1} {\sqrt{b(b-1)}}$ eşitliğini eşitsizlik için uygularsak oluşan yeni eşitsizlikte zaten $b$ $\leq$$2$ olduğundan $b=c=\dfrac 32$, $a=2+\frac {4\sqrt{2}}{3}$'ün sağladığı denenerek görülebilir.
Cevap: $\boxed{4}$
$A.O.$$\geq$$G.O.$ eşitsizliğinden
$(\sqrt{ab}-1)$2$\leq$$(a-1)(b-1)$
$(\sqrt{bc}-1)$2$\leq$$(b-1)(c-1)$
$(\sqrt{ac}-1)$2$\leq$$(a-1)(c-1)$
Taraf tarafa çarparsak
$(a-1)(b-1)(c-1)$$\geq$$1$ *
Buradaki eşitsizliklerin yönü ters olmalı.
Ayrıca, taraf tarafa çarpım yapıp $\left[(a-1)(b-1)(c-1)\right]^2\ge1$ elde ettikten sonra iki ihtimal söz konusu:
- $(a-1)(b-1)(c-1)\ge1$
- $(a-1)(b-1)(c-1)\le-1$
$a-1>\dfrac bc$
$b-1>\dfrac ca$
$c-1>\dfrac ab$
olacaktır. Taraf tarafa çarparsak
$(a-1)(b-1)(c-1)$$<$$1$
elde edilir
Buradaki son eşitsizliğin yönü de ters olmalı.