Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 1. Aşama => 2019 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Aralık 11, 2019, 11:42:25 ös
-
Başlangıçta bir sayı doğrusu üzerindeki $0$ noktasında bulunan bir kurbağa her $k$ pozitif tam sayısı için $k$-inci adımda, bulunduğu noktanın sağına veya soluna doğru $k$ birim atlıyor. Bu kurbağa en az kaç adımda $100$ noktasına varabilir?
$\textbf{a)}\ 13 \qquad\textbf{b)}\ 14 \qquad\textbf{c)}\ 15 \qquad\textbf{d)}\ 16 \qquad\textbf{e)}\ 17 $
-
Yanıt: $\boxed{C}$
Öncelikle şu yardımcı bilgiyi hatırlayalım
Lemma: $a,b$ birer tam sayı olmak üzere $a+b$ ile $a-b$ nin pariteleri (çitf/tek sayı olma durumları) aynıdır. Bu ifadeleri $\mod 2$ de inceleyerek, Lemma'nın doğruluğunu kolayca görebiliriz.
En az $n$ adımda $100$ noktasına varılabiliyor olsun. Bu durumda kurbağa, tüm adımları sağa (pozitif yöne) doğru atarsa $T=1+2+3+\cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ noktasına gelir. $\dfrac{n(n+1)}{2} \geq 100 $ olmalı. Ayrıca $ \dfrac{n(n+1)}{2}$ ile $100$ ün pariteleri aynı olmalıdır. Yani $\dfrac{n(n+1)}{2}$ de çift sayı olmalıdır. Çünkü bazı terimlerin işareti değiştirilse de paritenin değişmez olduğunu Lemma'dan dolayı biliyoruz.
$n=13$ için $T=91 <100$ olduğundan $n \geq 14 $ olmalıdır.
Fakat $n=14$ için de $T=105$ olup tek sayıdır. $100$ ise çift sayıdır. Parite uyumsuzluğundan dolayı $n \neq 14$.
$n=15$ için $T=120$ çift sayıdır ve paritesi $100$ ile uyumludur. Şimdi tek yapmamız gereken uygun bir örnek durum bulmaktır. Kurbağa $10$. adımı sola (negatif yöne) doğru, diğer adımları sağa doğru atarsa $T=1+2+\cdots +9 - 10 + 11 +\cdots +15 = 100$ noktasına ulaşır.