Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: NazifYILMAZ - Kasım 28, 2019, 02:36:54 ös

Başlık: Birer basamağı 2 olan bir sayının son basamağı ilk başa yazilirsa, elde edilen
Gönderen: NazifYILMAZ - Kasım 28, 2019, 02:36:54 ös

Birer basamağı 2 olan bir sayının son basamağı ilk başa yazilirsa, elde edilen sayı ilk sayının iki katına eşit olmaktadır.  Bu sayı en az kaç basamaklidir.

Başlık: Ynt: Iki kati
Gönderen: ERhan ERdoğan - Aralık 11, 2019, 01:27:13 öö

Sayıyı $x_1x_2 \ldots x_{n}2$ olacak şekilde $n+1$ basamaklı alalım. O halde;  $2[x_1x_2 \ldots x_n2] = 2x_1x_2 \ldots x_n $ dir.

Çözümleyelim , $2[x_1x_2 \ldots x_n0+2] = 200 \ldots 0 + x_1x_2 \ldots x_n$

Yazım kolaylığı açısından $x_1x_2 \ldots x_n = K$ diyelim.

$2[10K+2]=2\cdot 10^n + K \Rightarrow 19K+4 = 2\cdot 10^n$

Bu ifadeyi $\mod19$ 'da inceleyelim.

$2 \cdot 10^n \equiv 4 \mod(19)$

${\color{Red} 5}\cdot 2 \cdot 10^n \equiv {\color{Red} 5} \cdot 4 \mod(19)$

$10^{n+1} \equiv 1 \mod(19)$

Fermat teoremine göre, $10^{18} \equiv 1 \mod(19)$ olduğunu biliyoruz.

$10^9$ için bir inceleme yapıldığında $10^9 \equiv -1 \mod(19)$ olduğunu görebiliriz.

Buna göre, $n+1$ in en küçük değeri $18$ dir.

Başlık: Ynt: Iki kati
Gönderen: Eray - Aralık 11, 2019, 08:19:21 öö

Alıntı yapılan: ERhan ERdoğan - Aralık 11, 2019, 01:27:13 öö

Buna göre, $n+1$ in en küçük değeri $18$ dir.

Çözümün tamam olması için şartı sağlayan bir sayıyı örnek göstermek de gerekmiyor mu hocam?

Başlık: Ynt: Iki kati
Gönderen: ERhan ERdoğan - Aralık 12, 2019, 12:01:19 ös

Alıntı yapılan: Eray - Aralık 11, 2019, 08:19:21 öö

Alıntı yapılan: ERhan ERdoğan - Aralık 11, 2019, 01:27:13 öö

Buna göre, $n+1$ in en küçük değeri $18$ dir.

Çözümün tamam olması için şartı sağlayan bir sayıyı örnek göstermek de gerekmiyor mu hocam?

Doğru söylüyorsunuz bu kısmı da tamamlamalıyız. Uygun bir vakitte ilgilenecegim..

Başlık: Ynt: Iki kati
Gönderen: NazifYILMAZ - Aralık 12, 2019, 02:03:56 ös

Teşekkür hocam
105263157894736842
Sayısı istenen sağlıyor