Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Eylül 22, 2019, 08:32:29 ös
-
$51,52,53,\dots 104$ sayılarının en büyük tek sayı bölenlerinin toplamı kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1385 \qquad\textbf{b)}\ 2704 \qquad\textbf{c)}\ 2092 \qquad\textbf{d)}\ 2768 \qquad\textbf{e)}\ 2385$
-
Cevap: $\boxed{D}$
Herhangi bir pozitif $n$ tamsayısı için $n$'yi bölen en büyük $2$'nin kuvveti $2^k$ ise $n$'nin en büyük tek sayı böleni $\frac{n}{2^k}$ olacaktır. Dolayısıyla verilen sayıları $2$'nin en fazla kaçıncı kuvvetine bölündüklerine göre gruplayalım.
$2^0: 51,53,55,\dots, 103\longrightarrow$ En büyük tek bölenler $51,53,55,\dots ,103$
$2^1: 54,58,62,\dots, 102\longrightarrow$ En büyük tek bölenler $27,29,31,\dots, 51$
$2^2: 52,60,68,\dots, 100\longrightarrow$ En büyük tek bölenler $13,15,17,\dots, 25$
$2^3: 56,72,88, 104\longrightarrow$ En büyük tek bölenler $7,9,11,13$
$2^4: 80\longrightarrow$ En büyük tek bölenler $5$
$2^5: 96\longrightarrow$ En büyük tek bölenler $3$
$2^6: 64\longrightarrow$ En büyük tek bölenler $1$ ve verilen sayılar arasında $k\geq 7$ için $2^k$'ya bölünen bir sayı yoktur.
Eğer sağ tarafta kalan kümelerdeki elemanları toplarsak $1$'den $103$'e kadar olan tüm tek sayıları ve $13$ ile $51$'i toplamalıyız (iki kere sayılacaklarından dolayı). İstenilen toplam, $$13+51+(1+3+5+\cdots +103)=13+51+52^2=2768$$ bulunur.