Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Eylül 22, 2019, 07:15:19 ös
-
Gökberk ve Tuğberk, $52!$ sayısının pozitif bölenlerinden rastgele birer tane seçip, seçtikleri bu iki pozitif böleni topluyorlar. Bu toplamın çift sayı olma olasılığı kaçtır?
$\textbf{a)}\ \dfrac{2026}{2401} \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{2210}{2401} \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{2305}{2401} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{461}{500} \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1201}{1250}$
-
52!'i asal çarpanlarına ayıralım. [ ] tam değeri ifade etmek üzere;
•2 asal çarpanının kuvveti:
[52÷2]+[52÷2²]+[52÷2³]+[52÷2⁴]+[52÷2⁵]=49'dur.
•3 asal çarpanının kuvveti:
[52÷3]+[52÷3²]+[52÷3³]=23'tür.
•5 asal çarpanının kuvveti:
[52÷5]+[52÷5²]=12'dir.
•7 asal çarpanının kuvveti:
[52÷7]+[52÷7²]=8'dir.
•11 asal çarpanının kuvveti:
[52÷11]=4'tür.
•13 asal çarpanının kuvveti:
[52÷13]=4'tür.
•17 asal çarpanının kuvveti:
[52÷17]=3'tür.
•19 asal çarpanının kuvveti:
[52÷19]=2'dir.
•23 asal çarpanının kuvveti:
[52÷23]=2'dir.
•29,31,37,41,43,47 asal çarpanlarının her birinin kuvveti 1dir. (52 bu asal çarpanlara bölündüğünde bölüm B(x) olacak şekilde 1<B(x)<2 olduğundan [B(x)]=1 bulunur.)
52! = 2⁴⁹.3²³.5¹².7⁸.11⁴.13⁴.17³.19².23².29.31.37.41.43.47
Sayısının tüm pozitif bölenleri sayısı: (pbs)
(49+1)(23+1)(12+1)(8+1)(4+1)(4+1)(3+1)(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 50. (161740800)
bulunur.
2 pozitif bölenin toplamının çift olması için 2 çift veya 2 tek pozitif bölenin seçilmesi lazım.
Çift pozitif bölenlerin (2' nin en az birinci kuvvetini içeren) sayısı: (çpbs)
49(23+1)(12+1)(8+1)(4+1)(4+1)(3+1)(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=49.(161740800)
Tek pozitif bölenlerin (2' nin herhangi bir kuvvetini içermeyen) sayısı: (tpbs)
(23+1)(12+1)(8+1)(4+1)(4+1)(3+1)(2+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)= (161740800)
Yukarıda bahsettiğimiz 2 tek veya 2 çift seçilmesi durumu
( çpbs×çpbs + tpbs×tpbs ) farklı şekilde gerçekleşecektir.
Evrensel kümemiz ise (koşulsuz 2 pozitif bölen)
( pbs×pbs ) olacaktır.
161740800 sayısı hepsinin çarpanı olduğundan bu sayıya a diyerek işlemi basitleştirelim.
çpbs = 49a
tpbs = a
pbs = 50a
( 49a.49a + a.a ) ÷ ( 50a.50a )
= (49.49+1)a² ÷ (50.50)a²
=(49²+1) ÷ (50²)
=2402÷2500
=1201÷1250
cevabı bulunur.