Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2019 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Eylül 20, 2019, 07:28:44 ös
-
Bir pozitif tamsayı, rakamlar toplamı birbirine eşit olan iki sayının yanyana yazılmasıyla elde edilebiliyorsa bu sayıya dengeli sayı diyelim. Örneğin; $55~(5=5),~ 123~(1+2=3),~321~(3=2+1),~9788~(9+7=8+8)$ birer dengeli sayıdırlar. Buna göre kendisi ve ardışığı dengeli olan dört basamaklı en küçük sayının $13$ ile bölümünden kalan kaçtır?
$\textbf{a)}\ 6 \qquad\textbf{b)}\ 11 \qquad\textbf{c)}\ 5 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 10$
-
Yanıt: $\boxed{A}$
Sayımız $abcd$ , $d\not =9$ olsun. Bu durumda
$1)$ $a=b+c+d$ ve $a=b+c+d+1$ , $a+b=c+d+1$ , $a+b+c=d+1$
$2)$ $a+b=c+d$ ve $a+b=c+d+1$ , $a=b+c+d+1$ , $a+b+c=d+1$
$3)$ $a+b+c=d$ ve $a+b+c=d+1$ , $a=b+c+d+1$ , $a+b=c+d+1$ Durumları gelir ki bunların çözümü olamaz. O halde $d=9$ olmalıdır.
Sayıyı minimum yapmak için $a=1$ alalım.
$1bc9$ sayımıza bakalım $c\not =9$ için
$1)$ $1+b+c=9$ ise $1=b+c+1$ , $ 1+b=c+1$ , $1+b+c+1=0$ durumları gelir.
Eğer bir çözüm var ise $1+b=c+1$ yani $b=c$ için gelebilir. İncelenirse $b=4$ ve $c=4$ bulunur $1449$ bulunur.
$2)$ $b+1=c+9$ ise $b-c=8$ yani $(b,c)=(8,0),(9,1)$ ikilileri olabilir fakat denenirse sağlamazlar.
$3)$ $1=b+c+9$ ise çözümün olmadığı açıktır.
O halde en küçük sağlayan sayı $1449$ olur. $1449\equiv 6(mod13)$ bulunur.