Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2019 => Konuyu başlatan: AtakanCİCEK - Eylül 20, 2019, 06:44:34 ös
-
Rakamlarından herhangi biri, diğerlerine bölünemeyecek şekilde beş basamaklı kaç sayı vardır?
$\textbf{a)}\ 100 \qquad\textbf{b)}\ 120 \qquad\textbf{c)}\ 240 \qquad\textbf{d)}\ 180 \qquad\textbf{e)}\ 280$
-
Cevap: $\boxed{C}$
Bu beş basamaklı sayının tüm rakamlarının farklı olacağı aşikardır çünkü bir tamsayı kendisini bölebilir. Bu durumun tek istisnası $0$'dır fakat $0$ kendisi hariç herhangi bir sayıya bölünebileceğinden zaten onu kullanamayız. Benzer şekilde $1$ sayısı da her tamsayıyı böldüğünden onu da kullanamayız. Bu durumda kullanabileceğimiz rakamlar $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$'dur.
Eğer beş basamaklı sayı için seçeceğimiz rakamlar arasında $2$ varsa $\{4,6,8\}$ rakamlarını kullanamayız, geriye $\{3,5,7,9\}$ kalır fakat $9$, $3$'e bölüneceğinden ikisini aynı anda kullanamayız. Bu durumda beş basamaklı sayı oluşturamayız. Dolayısıyla $2$'yi seçemeyiz.
Eğer seçtiğimiz sayılar arasında $3$ varsa $\{6,9\}$ rakamlarını kullanamayız, geriye $\{4,5,7,8\}$ kalır fakat $4$ ve $8$'i birlikte kullanamayacağımız için yine beş basamaklı bir sayı oluşturamayız. Dolayısıyla $\{4,5,6,7,8,9\}$ rakamlarından beşini seçmeliyiz.
Eğer $4$'ü seçersek $8$'i seçemeyiz, eğer $4$'ü seçmezsek $8$'i seçmek zorundayız, buradan $\{4,5,6,7,9\}$ ve $\{5,6,7,8,9\}$ rakamlarının seçilebilir olduğunu görebiliriz. Permütasyonlarıyla birlikte $5!+5!=240$ tane beş basamaklı sayı bulunur.