Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Antalya Matematik Olimpiyatı 1. Aşama => 2019 => Konuyu başlatan: Metin Can Aydemir - Eylül 20, 2019, 01:42:37 ös

Başlık: 2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06
Gönderen: Metin Can Aydemir - Eylül 20, 2019, 01:42:37 ös

Oğuz, öğretmeninin telefon numarasını bir kağıda yazıyor ve cebine koyuyor. Fakat, kağıdı cebinden çıkardığında, şekildeki gibi altı rakamın tamamen silindiğini görüyor.

(https://resmim.net/f/acqTyO.png)

Hatırladığı tek şey, telefon numarasındaki bulunan her bir rakamın en az iki kez bulunduğudur. Ayrıca, Oğuz silinen yerdeki rakamların $0,5,6,7,8$ olmadığına ve tamamının aynı rakam olmadığına da kesinlikle emindir. Buna göre, Oğuz'un öğretmeninin telefon numarası kaç farklı numara olabilir?

$\textbf{a)}\ 1400 \qquad\textbf{b)}\ 3600  \qquad\textbf{c)}\ 1800 \qquad\textbf{d)}\ 2800 \qquad\textbf{e)}\ 5900$

Başlık: Ynt: 2019 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 06
Gönderen: Squidward - Eylül 21, 2019, 09:42:27 ös

Cevap: $\boxed{A}$

Yıldız yerine gelebilecek rakamlar, $I = \text{{1, 2, 3, 4, 9}}$'nın elemanlarıdır ve $5$ tanedirler.

Her bir rakam 6 haneye en az iki kez gelecek ise, en fazla 3 harfi tek bir durumda kullanabiliriz, durum incelemesi yapalım,


Durum $1$: $A,B,C \in I$, $AABBCC$

$A,B,C$ eşit sayıda bulunduğundan ayırt edilemezdirler, $5 \choose 3$ farklı şekilde seçilirler ve farklı sıralamaların sayısı, tekrarlı permütasyondan $\dfrac{6!}{2!2!2!}$ 'dir.

Durum $2$: $A,B \in I$, $AAABBB$

$A,B$ eşit sayıda bulunduğundan ayırt edilemezdirler, $5 \choose 2$ farklı şekilde seçilirler ve farklı sıralamaların sayısı, tekrarlı permütasyondan $\dfrac{6!}{3!3!}$ 'dir.

Durum $3$: $A, B \in I$, $AAAABB$

Bu sefer, $A$ ve $B$'nin sayıları birbirinden farklı olduğundan biri ayrıcalıklıdır ve ayırt edilebilirler, o yüzden önce seçilip $A$ ve $B$ arasında sıralanmalıdırlar, $\binom{5}{2} \cdot 2!$ farklı şekilde seçilir ve yerleştirilir, durumun farklı sıralamalarının sayısı ise $\dfrac{6!}{4!2!}$'dir.

tek bir sayı kullanamayacağımız koşulu verildiğinden başka durum olmadığı görülebilir, bu durumların toplamı,

$\binom{5}{3} \cdot \dfrac{6!}{2!2!2!} + \binom{5}{2} \cdot \dfrac{6!}{3!3!} + \binom{5}{2} \cdot 2! \cdot \dfrac{6!}{4!2!} = 1400$'dür, $A$ şıkkında verilmiştir.