Çözüm (Lokman Gökçe):
$a)$ kısmı için: Evet, $3$ arkadaşı olan bir kişi her zaman bulunmak zorundadır.
En çok arkadaşa sahip olan kişinin $n$ tane arkadaşı olsun. $n=1$ olursa herkesin $1$ arkadaşı var demektir. Arkadaş olanları ikişerli gruplar halinde düşünürsek $2019$ kişiden biri dışarıda kalır. Bu kişinin hiç arkadaşı yoktur, çelişki.
$n=2$ olursa bazı öğrencilerin $1$, bazı öğrencilerin $2$ arkadaşı vardır. Öğrencileri noktalarla gösterelim. Arkadaş olan öğrencileri de doğru parçasıyla birleştirerek gösterelim.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6499.0;attach=15366;image)
$1$ arkadaşı olanların yapısı Şekil 1'de, $2$ arkadaşı olanların yapısı Şekil 2'deki gibi olur. Graf teori diliyle, noktalar üzerindeki sayılar o noktaların derecesini (o öğrencinin arkadaş sayısını) göstermektedir. Yani $n=2$ durumunda öğrenciler Şekil 1'deki gibi $2$-li gruplar halinde veya Şekil 2'deki gibi $4$-lü gruplar halinde bulunabilirler. Bu grupların sayısı sırasıyla $x$ ve $y$ olsun. $2x+4y=2019$ denkleminin doğal sayılarda çözümü yoktur. Böylece $n=2$ durumu mümkün değildir.
$n\geq 3$ olmalıdır. Bu durumda derecesi $n$ olan bir köşenin, arkadaşlarının dereceleri $1,2,3,\dots , n$ değerlerini alabilirler. Ancak, problemin bir verileni olarak bu kişilerin arkadaş sayıları da birbirinden farklıdır. O halde, en çok arkadaşa sahip olan kişinin arkadaşları olan $n$ tane kişinin her birinin arkadaş sayısı $1,2,3,\dots , n$ değerlerinden tam olarak birine karşılık gelmektedir. $n\geq 3$ olduğundan derecesi (arkadaş sayısı) $3$ olan bir kişi her zaman vardır.
$b)$ kısmı için: Hayır, $4$ arkadaşı olan biri bulunmak olmak zorunda değildir. Örnek olarak Şekil 1'deki yapıdan $x$ tane grup, Şekil 3'deki yapıdan $z$ tane grup bulunmuş olsun. Şekil 3'teki yapıda $9$ kişi vardır. Böylece $2x+9z=2019$ denklemi elde edilir. Bu denklemin doğal sayılarda çözümü vardır. Örneğin $x=1005$, $z=1$.