Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Balkan Matematik Olimpiyatı => 2019 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Eylül 08, 2019, 11:41:20 ös
-
$a,b,c$ gerçel sayıları $0\leq a \leq b \leq c $ ve $a+b+c = ab + bc + ca > 0 $ koşullarını sağlıyorlar. $\sqrt{bc}(a+1) \geq 2$ eşitsizliğini kanıtlayınız. Eşitliği sağlayan tüm $(a,b,c)$ üçlülerini bulunuz.
(Romanya)
-
Eğer $a>1$ ise $a+b+c\lt ab+ac+bc$ olur, dolayısıyla $a\leq 1$'dir. Verilen eşitlikte $bc$'yi yalnız bırakırsak, $$bc=a+(b+c)(1-a)\geq a+2\sqrt{bc}(1-a)$$ olur. $\sqrt{bc}=x$ diyelim. $$f(x)=x^2-2x(1-a)-a\geq 0$$ elde ederiz. Köklerin çarpımı negatif olduğundan bir kök pozitif biri negatiftir. $$f \left (\dfrac{2}{a+1}\right )=\left (\dfrac{2}{a+1}\right )^2-\dfrac{4(1-a)}{a+1}-a=-\dfrac{a(a-1)^2}{(a+1)^2}\leq 0$$ olur. Yani $\dfrac{2}{a+1}$ iki kök arasındadır. $\sqrt{bc}$ için de fonksiyon pozitif olduğundan ve $\sqrt{bc}$ de pozitif olduğundan pozitif kökten büyüktür. Dolayısıyla $$\sqrt{bc}\geq \dfrac{2}{a+1}\Rightarrow \sqrt{bc}(a+1)\geq 2$$ bulunur. Eşitlik için ilk kullandığımız eşitsizlikten $b=c$ olur. Aynı zamanda $\sqrt{bc}=b=\dfrac{2}{a+1}$ için $f(x)=0$ olmalı. $x=\dfrac{2}{a+1}$ için $$f\left (\dfrac{2}{a+1}\right )=-\dfrac{a(a-1)^2}{(a+1)^2}=0$$ olacağından $a=0$ veya $a=1$ olmalı.
$a=0$ ise verilen şartta yerine yazarsak $b+c=bc$ ve $b=c$ yazarsak $b=c=2$ bulunur. $(a,b,c)=(0,2,2)$ olur.
$a=1$ ise şartta yerine yazarsak $1+b+c=b+c+bc$ buradan $bc=b^2=1$ bulunur. Buradan $(a,b,c)=(1,1,1)$ bulunur.