Geomania.Org Forumları
Geomania Olimpiyat Denemeleri => Geomania Olimpiyat Denemeleri => Konuyu başlatan: AtakanCİCEK - Ağustos 22, 2019, 10:26:39 ös
-
Soruların Tüm Çözümlerini $30.08.2019$ da paylaşacağım.
1. gün
$1)$ Verilen iki çemberin $A$ değme noktasından, bu çemberler içinde kalmak üzere, uzunlukları oranı verilen $AB$ ve $AD$ gibi iki kiriş ile çemberlerin $O$ ve $C$ merkezlerinden bu kirişlere dikler çiziliyor. Bu iki dikin $M$ kesim noktasının geometrik yerini bulunuz.
$2)$ $f(0)=2$ ve $h(0)=1$ olmak üzere , her $x,y$ reelleri için
$$(x-y).f(x)-xy+y^2\le h(y)-h(x) \le (x-y). g(x) -xy+y^2$$ eşitsizliklerini sağlayan tüm $f,g,h:R\rightarrow R$ fonksiyonlarını bulunuz.
$3)$ $m$ ve $n$ pozitif tam sayılar olsun. O zaman
$$\dfrac{(mn)!}{m!.(n!)^m}$$ ifadesinin bir pozitif tam sayı olduğunu ispatlayınız.
2. gün
$4)$ Her $a,b,c\in R$ için
$$a^4+b^4+c^4\ge a^2bc+b^2ac+c^2ab$$ eşitsizliğinin doğruluğunu gösteriniz.
$5)$ Bir çember etrafına yerleştirilmiş $50$ kutuya adım adım aşağıdaki işlemler uygulanıyor.
Birinci adımda kutulardan biri seçiliyor ve o kutunun içine $1$ top konuluyor.
İkinci adımda , $1$ top konulan kutudan saat yönünde bir kutu boş bırakılıyor ve ikinci kutuya $2$ top konuluyor.
Üçüncü adımda , İki top konulan kutudan sonraki iki kutu atlanıyor ve üçüncüsüne $3$ top konuluyor.
.
.
.
k-ıncı adımda $k-1$ top konulan kutudan sonraki $k-1$ kutu atlanıyor ve k-ıncı kutuya $k$ tane top konuluyor. $99.$ adımda top konulan kutuda toplam kaç top birikmiş olur ?
$6)$ Bir çember ile dışında bir $D$ doğrusu ve doğrunun, çemberi içermeyen tarafında bir $S$ noktası alınıyor. Bu noktadan öyle bir kesen geçiriniz ki , doğruyu $A$ da ve çemberi $B$ de kestiğine göre
$$\dfrac{\mid SA\mid}{\mid SB\mid}=\dfrac{2}{5}$$ olsun.
-
$2)$ $x>y$ için $$(x-y)f(x)-xy+y^2\leq (x-y)g(x)-xy+y^2 \Rightarrow f(x)\leq g(x)$$ $x<y$ için $$(x-y)f(x)-xy+y^2\leq (x-y)g(x)-xy+y^2 \Rightarrow f(x)\geq g(x)$$ olur, yani $f(x)=g(x)$ olur. Yani $(x-y).f(x)-xy+y^2= h(y)-h(x)$ olur. $y=0$ için, $$xf(x)=1-h(x)\Rightarrow h(x)=1-xf(x)$$ olur, yerine yazarsak, $$(x-y)f(x)-xy+y^2=xf(x)-yf(y)\Rightarrow y-x=f(x)-f(y)$$ $y=0$ için $f(x)=2-x$ olur.
Tüm fonksiyonlar, $f(x)=g(x)=2-x$ ve $h(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$'dir.
-
$3)$
$mn$ kişiyi $m$ tane özdeş $n$ kişilik gruplara ayırmanın sayısı verilen ifadeye eşittir.
-
İspatını da eklersen tam olur $2.$ aşama denemesi olduğu için ispatı da gereklidir.
-
$3)$
$mn$ kişiyi $m$ tane özdeş $n$ kişilik gruplara ayırmanın sayısı verilen ifadeye eşittir.
İspat:
$mn$ kişiyi $m$ tane özdeş $n$ kişilik gruplara ayırmanın sayısını hesaplayalım ve eşit olduklarını görelim,
İlk grup için $n$ kişiyi, ikinci grup için $n$ kişiyi, ..., m'inci grup için $n$ kişiyi seçelim.
$\binom{mn}{n} \cdot \binom{mn-n}{n} \cdot \binom{mn-2n}{n} \cdot \dots \cdot \binom{mn - (m-1)n}{n}$ bu ifade de,
$\dfrac{(mn)!}{(n!)^m}$'ye eşittir fakat grupların birbirleri arasındaki dizilimleri önemsiz olduğundan $m!$'e bölünmelidir yani sayı,
$\dfrac{(mn)!}{m!(n!)^m}$'e eşit olur ve açıkça bir tamsayıdır. $\blacksquare$
-
$4)$
$a,\ b, \ c$'nin işaretlerine bakmaksızın eşitsizliğin sol tarafı pozitif olacağından, sadece sağ tarafın işareti etkileneceğinden eşitsizlik $a, \ b, \ c \in R^+$ için kanıtlanırsa, kanıtın biteceği açıktır.
$AO \ge GO$'dan
$\dfrac{a^4 + a^4 + b^4 + c^4}{4} \ge (a^8b^4c^4)^{\frac{1}{4}} = a^2bc$
$\dfrac{a^4 + b^4 + b^4 + c^4}{4} \ge (a^4b^8c^4)^{\frac{1}{4}} = ab^2c$
$\dfrac{a^4 + b^4 + c^4 + c^4}{4} \ge (a^4b^4c^8)^{\frac{1}{4}} = abc^2$
üç eşitsizlik toplanırsa istenilen eşitsizlik elde edilir. $\blacksquare$
-
$1)$
Problemi çözülmüş varsayarak işe koyulalım. Hipoteze göre $\dfrac{\mid AB \mid }{\mid AD\mid}=\dfrac{m}{n}$ dir. $M$ den $OC$ ye dikme çizelim. Kenarları dik olduğundan $OAF$ ve $OMI$ üçgenleri benzerdir:
$AC=R'$ $AO=R$ olsun.
$$\dfrac{\mid AF \mid}{\mid MI \mid}=\dfrac{\mid OA \mid}{\mid MO \mid }$$
Benzer şekilde $CAE$ ve $CMI$ üçgenlerinin benzerliğinden
$$\dfrac{\mid AE \mid}{\mid MI \mid}=\dfrac{\mid CA \mid}{\mid MC \mid }$$
Taraf tarafa bölelim :
$$\dfrac{\mid AF \mid}{\mid AE \mid}=\dfrac{\mid AB \mid}{\mid AD \mid}=\dfrac{\mid OA \mid}{\mid MO \mid }.\dfrac{\mid MC \mid}{\mid AC \mid }$$
$$\dfrac{\mid MC \mid}{\mid MO \mid}=\dfrac{m.R'}{n.R}$$
$M$ noktasının Sabit $O$ ve $C$ noktalarına oranı da sabit olduğu için $M$ noktası $OC$ yi verilen oran dahilinde bölen eşlenik noktalar arasındaki uzaklığı çap kabul eden Apolonyus Çemberi üzerinde bulunur.
(https://i.hizliresim.com/EO2omz.png) (https://hizliresim.com/EO2omz)
-
$6)$ Verilen şarta göre $A$ noktası ,$D$ doğrusu ile , verilen çemberin $S$ merkezine ve $\dfrac{p}{q}=\dfrac{2}{5}$ oranına göre homotetiği olan çemberin kesim noktasıdır. Veya ters olarak $\dfrac {\mid SB\mid }{\mid SA\mid } = \dfrac{5}{2} $ olacağından $B$ noktası , verilen çember ile verilen doğrunun aynı merkeze ve $\dfrac{5}{2}$ oranına göre homotetiği olan $D'$ doğrusu üzerinde bulunur. $D'$ yü tayin eden $D$ ve $S$ den $SH$ dikmesi indirilir ve üzerinde $\mid SK\mid = \frac{5}{2}.\mid SH\mid $ olacak şekilde $K$ noktası işaretlenir. $K$ dan $D$ ye çizilen paralel $D'$ doğrusu olup çemberi aranan $B$ noktasında keser.
İrdelemeye girmedim.
(https://i.hizliresim.com/qAyLVW.png) (https://hizliresim.com/qAyLVW)
-
$5)$ Bir kutuya $k-$ıncı adımda $k$ tane top konulabilmesi için;
$$1+2+3+4+5+...+(k-1)+k=\dfrac{k.(k+1)}{2}$$
tane kutu geçilmesi gerekir. Aynı kutuya hem $k-$ıncı adımda hem $m-$inci adımda top konulması için gerek ve yeter koşul
$$\frac{1}{2}.k.(k+1)\equiv \frac{1}{2}.m.(m+1)(mod50)$$
ya da
$$k.(k+1)\equiv m.(m+1) (mod100)$$ olmasıdır.
Böylece $99.$ adımda $99$ top konulan kutuya , $m.$ adımda $m$ top konulması için gerek ve yeter koşul
$$99.100\equiv m.(m+1)(mod100)$$
Buradan
$$(99-m).(100+m)\equiv 0(mod100)$$
Buradan $(99-m).(100+m)=2^2.5^2.A$ olmalıdır. $2$ ye ve $5$ e bölünemeyen uygun $p.q=A$ olacak şekildeki tam sayılar için
\begin{equation*}
\begin{cases}
99-m=2^2p,
\\
100+m=5^2q
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
99-m=2^25^2p,
\\
100+m=q
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
99-m=5^2q,
\\
100+m=2^2p
\end{cases}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{cases}
99-m=q,
\\
100+m=2^25^2p
\end{cases}
\end{equation*}
eşitlikliklerinden biri sağlanmalıdır. Denklemler çözülüp incelenirse $m=75$ bulunur. Böylece $99.$ adımda $99$ top konulan içinde toplam $99+75=174$ top birikmiş olur.
-
$3)$ Ben de bu sorunun Sayılar Teorisi yardımıyla ispatını vereyim.
$p$ bir asal sayı olmak üzere
$${\overset{\infty}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}-{\overset{\infty}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{m}{p^i}⌋}-m{\overset{\infty}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{n}{p^i}⌋}\ge 0$$ olduğunu göstermek yeter. Öyle $r$ ve $s$ tam sayıları vardır ki ;
$$p^r\le m < p^{r+1}$$ , $$p^s\le n <p^{s+1}$$ dir. O zaman $ ⌊\dfrac{m}{p^{r+1}}⌋=0$ ve $ ⌊\dfrac{n}{p^{s+1}}⌋=0$ dır.
$ ⌊x⌋+ ⌊y⌋\le ⌊x+y⌋$ eşitliği kullanılırsa $m. ⌊\dfrac{n}{p^i}⌋= ⌊\dfrac{n}{p^i}⌋+⌊\dfrac{n}{p^i}⌋+...+⌊\dfrac{n}{p^i}⌋\le ⌊\dfrac{mn}{p^i}⌋$ elde edilir. Şimdi İstenen ifadeyi derleyelim.
$${\overset{\infty}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}-{\overset{\infty}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{m}{p^i}⌋}-m{\overset{\infty}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{n}{p^i}⌋}={\overset{r+s}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}-{\overset{r}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{m}{p^i}⌋}-m{\overset{s}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{n}{p^i}⌋}\ge {\overset{s}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}+{\overset{r+s}{\underset{i=s+1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}-{\overset{r}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{m}{p^i}⌋}-{\overset{s}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}$$
$${\overset{s}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}+{\overset{r+s}{\underset{i=s+1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}-{\overset{r}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{m}{p^i}⌋}-{\overset{s}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} ⌊ \dfrac{mn}{p^i}⌋}={\overset{r}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} (⌊ \dfrac{mn}{p^{s+i}}⌋-⌊ \dfrac{m}{p^i}⌋)}\ge {\overset{r}{\underset{i=1}{{\displaystyle\sum}}} (⌊ \dfrac{mp^s}{p^{s+i}}⌋-⌊ \dfrac{m}{p^i}⌋)}=0$$ olduğundan ispat bitmiştir.
Benzer soru tipi olması açısından incelenebilecek bir soru daha vereyim.
http://geomania.org/forum/index.php?topic=4368.0