Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 17, 2019, 09:43:30 ös

Başlık: Üçgen oluşması için bir gerek ve yeter koşul {çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 17, 2019, 09:43:30 ös

Soru: $a$, $b$, $c$ pozitif reel sayıları veriliyor. $a$, $b$ ve $c$ nin bir üçgenin kenar uzunlukları olabilmesi için gerek ve yeter şart $p+q = 1$ olacak şekilde herhangi $p$, $q$ reel sayıları için $$ pa^2+qb^2>pqc^2$$
olmasıdır, gösteriniz.

Başlık: Ynt: Üçgen oluşması için bir gerek ve yeter koşul
Gönderen: Metin Can Aydemir - Ağustos 17, 2019, 11:40:55 ös

İfadeyi düzenlersek $p^2c^2+p(a^2-b^2-c^2)+b^2>0$ olur. $f(p)=p^2c^2+p(a^2-b^2-c^2)+b^2$ olsun. Üçgen eşitsizliğinden $$\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2)<0$$ Yani $f$ fonksiyonunun kökü yoktur. $f(0)=b^2$ olduğundan her $p$ için fonksiyon pozitiftir.

Şimdi tersini ispatlayalım. Fonksiyonun daima pozitif olması için $\Delta$'nın negatif olması gerekir. Yani $$\Delta=(a^2-b^2-c^2)^2-4b^2c^2=(a^2-(b+c)^2)(a^2-(b-c)^2)<0$$ olmalı, burada çarpanlardan biri pozitif, diğeri negatif olmalıdır.

$i)$ $(b-c)^2>a^2>(b+c)^2$ olursa pozitif reel sayılar denildiği için olamaz.

$ii)$ $(b+c)^2>a^2>(b-c)^2$ ise $b+c>a>|b-c|$ olur yani üçgen eşitsizliği olur.

Dolayısıyla üçgen olması için gerek ve yeterli şart $pa^2+(1-p)b^2>p(1-p)c^2$ olmasıdır.

Başlık: Ynt: Üçgen oluşması için bir gerek ve yeter koşul
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 17, 2019, 11:52:34 ös

Tebrikler metonster,

Bazen ikinci dereceden fonksiyon ve diskriminant incelemesi problem çözümlerinde çok kullanışlı olabiliyor. Buna bir diğer örnek Üçgende pozitif bir ifade başlıklı buradaki (http://geomania.org/forum/index.php?topic=6440.0) problemimizde verilmişti. Konu bütünlüğü açısından bağlantı vermiş olalım.