Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2019 => Konuyu başlatan: Squidward - Haziran 08, 2019, 02:53:06 ös
-
Düz bir yol üzerinde yan yana yer alan $27$ bahçenin herhangi ikisinde aralarındaki hiçbir bahçede bulunmayan aynı bir ağaç türü yer almaktadır. Buna göre, bu bahçelerin en az birinde yer alan ağaç türü sayısı en az kaçtır?
$\textbf{a)}\ 108 \qquad\textbf{b)}\ 152 \qquad\textbf{c)}\ 182 \qquad\textbf{d)}\ 196 \qquad\textbf{e)}\ 351$
-
Yanıt: $\boxed C$
Cevap: $182$.
Bahçelerin koordinat doğrusu üzerinde $1,2, \ldots, 27$ noktalarında bulunduklarını varsayalım. $1,2, \ldots, 13$ noktalarındaki bahçeler birinci, $14,15, \ldots 27$ noktalarındaki bahçeler ise ikinci bahçe grubunu oluştursun. Biri birinci, bir diğeri ikinci gruptan olan bahçelerin oluşturdukları $13 \cdot 14=$ 182 tane bahçe ikilisi vardır. Bu bahçe ikililerine temel ikili diyelim. Koşullara göre, herhangi temel bahçe ikilisinde diğer temel bahçe ikililerinde bulunmayan bir ağaç türü bulunuyor. Buna göre, en az $182$ ağaç türü vardır. Diğer taraftan, $x$ ve $y$ noktalarındaki bahçelerin oluşturduğu temel bahçe ikilisinde bulunup diğer temel bahçe ikililerinde bulunmayan ağaç türü, $k$ pozitif tam sayı olmak üzere, $x-k|y-x|$ ve $y+k|y-x|$ noktalarındaki bahçelerde de bulunursa, bu $182$ ağaç türü yeterli olur.
Kaynak: Tübitak 27. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2019