Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2019 => Konuyu başlatan: Squidward - Haziran 01, 2019, 03:32:29 ös
-
$2x^2+y^2=1$ eşitliğini sağlayan $(x,y)$ gerçel sayı ikilileri için $2x+y$ toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ \sqrt{2} \qquad\textbf{c)}\ \sqrt{3} \qquad\textbf{d)}\ 2 \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$
-
Yanıt:C
C.S. eşitsizliğinden ($1.x+1.x+1.y$)2$\leq$($1$2+$1$2+$1$2).($x$2+$x$2+$y$2) elde edilir. Buradan ($2.x+y$)max=$\sqrt{3}$ elde edilir.
-
Yanıt: $\boxed C$
Maks-min değer sorularında bu değerleri veren noktaların bulunması da çözümün doğruluğunu tamamlayan unsurlardır.
Lise matematik müfredatı bilgilerini kullanmanın yeterli olduğu bazı çözümleri sunalım. İlk olarak klasik bir türev yöntemi uygulayalım:
Çözüm 1. $y= \mp \sqrt{1-2x^2}$ yazalım. $2x+y$ toplamını en büyük yapmak için $x$ ve $y$ nin pozitif değerini kullanalım. $f(x) = 2x + \sqrt{1-2x^2} $ dersek, $f^\prime (x) = 2 - \dfrac{4x}{2\sqrt{1-2x^2}}$ olur. $f^\prime (x)=0$ denkleminin pozitif kökü $x_0 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ tür. Buna karşılık $y_0= \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ olduğu hesaplanabilir. Bu $x_0$ değeri $f$ fonksiyonunu maksimum yapar ve $f_{\max {}} = f(x_0) = \sqrt{3}$ bulunur.
Çözüm 2. $2x+y = n$ olsun. Bu değeri kullanarak $2x^2 + (n-2x)^2 - 1 = 0$ biçiminde $x$ e göre ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. $x$ in bir gerçel sayı olması için diskriminant $\Delta_x \geq 0$ olmalıdır. Buradan $n^2 \leq 3$ eşitsizliğine ulaşılabilir ve $n_{\max {}} = \sqrt{3}$ olur. $2x^2 + (n-2x)^2 - 1 = 0$ denkleminden $x_0 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ değeri elde edilebilir. Buna karşılık $y_0 = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ olur.
Eski müfredatlarda konikler vardı. Konikler ile ilgili bilgisi olan öğrenciler için şu çözüm de mümkündür:
Çözüm 3. $2x+y = n$ olsun. $2x^2 + y^2 = 1$ elipsi ile $2x+y = n$ doğrusu birbirine teğet olduğunda, $n$ maks veya min değerlerini alacaktır. Teğet olma şartı incelenirse $n^2 = 3$ denklemine ulaşılır. $n_{\max {}} = \sqrt{3}$ olur. Teğet değme notasını $(x_0, y_0)=(\dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}})$ olarak hesaplayabiliriz. Bu bize maks $n$ değerini veren noktadır.
Mevcut lise müfredatında ortalama eşitsizlikleri konusu olmamakla beraber, olimpiyata uygun olan bir çözüm de bu eşitsizliği kullanarak yapılabiliriz.
Çözüm 4. $2x+y$ nin maks değer için, $2x^2 + y^2 = 1$ denklemini sağlayan $x$ ve $y$ sayılarını pozitif olarak seçmeliyiz. Aritmetik-karesel ortalama eşitsizliğinden $\dfrac{x+x+y}{3}\leq \sqrt{\dfrac{x^2+x^2+y^2}{3}}$ olup $2x+y\leq \sqrt{3}$ elde edilir. Ortalama eşitsizliklerinde eşitlik durumu ancak ve ancak terimler eşitken sağlanır. Buradan $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ elde ederiz. Bu şekilde, önceki çözümlerde neden $x_0=y_0$ olduğunu da basit biçimde anlamış oluyoruz.
-
Yanıt: $\boxed{C}$
(Can Doğan, Cambridge)
$x=\dfrac{\sin \theta}{\sqrt{2}}, y = \cos \theta$ denirse, $2x + y = \sqrt{2}\sin\theta + \cos\theta \leq \sqrt{\sqrt{2}^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ olur. $(2x + y)_{\max {}} = \sqrt{3} $ olması için $\tan \theta = \sqrt{2}$ olmalıdır. Bunu sağlayan değerler de $x=y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ sayılarıdır.
-
$2x+y=A$ diyelim. $$A^2=4x^2+y^2+4xy=2x^2+4xy+1\leq 2x^2+2(x^2+y^2)+1=4x^2+2y^2+1=3$$ olacaktır. Yani $A\leq \sqrt{3}$'dür. Eşitlik durumu için $x^2+y^2\geq 2xy$ eşitsizliğinin eşitlik durumunun $x=y$ olmasından dolayı $x=y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ iken $A=\sqrt{3}$ elde edilir.