Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: AtakanCİCEK - Aralık 21, 2018, 06:15:09 ös
-
$2$ nin alabileceği tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin $p$ ile bölümünden kalanların alabileceği farklı değerlerin toplamının $p$ ye eşit olmasını sağlayan $2018$ den küçük kaç $p$ asalı vardır ?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad \textbf{c)}\ 3 \qquad \textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
-
Cevap: $\boxed{D}$
Öncelikle $p=2$ için sağlamadığı açıktır. $p>2$ için $2^r<p<2^{r+1}$ olsun. Buna göre $$ p\leq 2^{r+1}-1 $$ olacağını aklımızda tutalım. $2^0,2^1,...,2^r$ değerleri $p$'den küçük olduklarından $p$ modunda kalan kendisine eşittir. $2$'nin alabileceği tüm pozitif tam sayı kuvvetlerinin $p$ ile bölümünden farklı kalanlarının toplamı $A$ olsun. $$A\geq 1+2^1+2^2+\cdots +2^{r}=2^{r+1}-1$$
yazılır. $A=p$ olabilmesi için $p=2^{r+1}-1$ olması gerekir. Bu formattaki $2018$'den küçük asal sayılar; $2^2-1,2^3-1,2^5-1,2^7-1$ olur. Yani $4$ tane asal sayı vardır.