Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: AtakanCİCEK - Kasım 25, 2018, 08:31:36 ös
-
$1,2,...,7$ sayılarıyla yedi kutunun her birine en az $1$ ve en çok $10$ olmak üzere, bilyeler dağıtılacaktır. Böyle bir dağılımda $i<j$ olmak üzere, $i$ numaralı kutudaki bilye sayısı $j$ numaralı kutudaki bilye sayısından az değilse, $(i,j)$ ikilisine ters ikili diyelim. Tam olarak bir ters ikili içeren kaç dağılım vardır?
$\textbf{a)}\ 720 \qquad\textbf{b)}\ 1260 \qquad\textbf{c)}\ 1520 \qquad\textbf{d)}\ 1980 \qquad\textbf{e)}\ 2310$
-
Cevap: $\boxed{D}$
Dağılımdaki ters ikili $(i,j)$ olsun. Eğer $j-i>1$ ise $(i,i+1)$ ters ikili değildir fakat $(i,j)$ ikilidir. $a.$ kutudaki bilye sayısı $x_a$ dersek, $x_i<x_{i+1}$ ve $x_i\geq x_j$ olacağından $x_{i+1}>x_j$ olacaktır. Yani $(i+1,j)$ ikilisi de ters ikilidir. Bu da bir tane ters ikili içermesiyle çelişir. Dolayısıyla $j=i+1$'dir. Yani tek ters ikili $(i,i+1)$'dir. $6$ farklı $(i,i+1)$ ikilisi seçilebilir. Bu dağılım için $(i,i+1)$ ikilisi hariç kutulardaki bilye sayısı artan sırada olmalıdır. Örneğin $i=3$ ise $x_1<x_2<x_4\leq x_3<x_5<x_6<x_7$ olacaktır. İki ihtimal vardır: $x_i=x_{i+1}$ veya $x_{i+1}<x_i$. Bu durumlardaki dağılım sayısını bulmak için $\{1,2,\dots,10\}$ kümesinden elemanlar seçip artan sırada dizmeliyiz. $x_i=x_{i+1}$ ise $6$ sayı $x_{i+1}<x_i$ ise $7$ adet sayı seçmeliyiz. Bu durumda dağılım sayısı $$6\left (\dbinom{10}{6}+\dbinom{10}{7}\right)=1980$$ elde edilir.