Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 2018 => Konuyu başlatan: AtakanCİCEK - Kasım 25, 2018, 02:15:10 ös
-
$\quad$
$$\begin{array}{rcl}
x^2+xy-y^2 &=& 10x \\
x^3-xy^2+y^2 &=& 10y
\end{array}$$ denklem sistemini sağlayan kaç farklı $(x,y)$ gerçel sayı ikilisi vardır?
$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 4 \qquad\textbf{e)}\ 5$
-
Yanıt:$\boxed{D}$
Verilen denklemleri taraf tarafa toplayalım.
$x^2+x^3-y^2-xy^2+xy+y^2=10x+10y$
ifadeyi çarpanlarına ayırırsak
$x^2 (1+x)-y^2 (1+x)+y (x+y)=10 (x+y)$
$(x^2-y^2)(1+x)+y(x+y)=10 (x+y)$
$(x-y)(x+y)(1+x)+y(x+y)=10(x+y)$
$(x+y)((x-y)(x+1)+y)=10(x+y)$
Buradan $x+y=0$ veya $(x-y)(x+1)+y=10$ bulunur.
- $x+y=0$ ise
$x=-y$ olduğunu kullanarak 1. denklemi çözelim.
$x=-y$ yazıldığında $-y^2=-10y$ ve $y=10$ veya $y=0$ olabilir.
- $y=0$ ise $x+y=0$ olacağından $x=0$ bulunur ve 2.denklemde yerine konulduğunda sağladığı görülür.
- Aynı şekilde $y=10$ ise $x=-10$ bulunur. ve 2. denklemde yerine konulduğunda sağlandığı görülür.
- $(x-y)(x+1)+y=10$ ise
İfadeyi açıp düzenlersek $\frac{x^2+x-10}{x}=y$ olur.
Elde ettiğimiz bu ifadeyi ilk denklemde yerine yazıp düzenlersek
$x^4-11x^3+9x^2+20x-100=0$ denklemi elde edilir.
Şimdi bu ifadeye çarpanlarına ayıralım.
$(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4-11x^3+9x^2+20x-100$ deyip
Soldaki ifadeyi açıp katsayıları eşitlersek
$a+c=-11$
$ac+b+d=9$
$ad+bc=20$
$bd=-100$ denklemlerinden $a=-3$,$b=5$,$c=-8$,$d=-20$ bulunur.
İfadeyi $(x^2-3x+5)(x^2-8x-20)=0$ haline getirdik.
$x^2-3x+5=0$ ifadesinin diskriminantı 0'dan küçük olduğundan reel kökü yoktur.
O halde $x^2-8x-20=0$ ifadesinden gelen $x=10$ ve $x=-2$ olmalıdır.
- $x=10$ ise 1.denklemde yerine yazıp düzenlersek $y^2=10y$ yani $y=10$ veya $y=0$ elde ederiz.
2. denklemde bu değerleri denersek $y=10$ olması gerektiğini anlarız.
- $x=-2$ ise $4-2y-y^2=-20$ denkleminden $y=-6$ veya $y=4$ olduğunu anlarız
2. denklemde yerine koyarsak $y=4$ olması gerektiği görülür.
Yani ikililerimiz $(-10,10)$,$(-2,4)$,$(0,0)$,$(10,10)$ ikilileri bulunur. Yani $4$ tane ikilimiz vardır.
-
İlk denklemi $x$ ile çarpalım ve $x^3$ ifadesini çekelim. Bunu $2.$ denklemde yerine koyalım.
$x^3=10x^2+y^2x-x^2y$ ifadesini $2.$ denklemde yerine koyarsak
$10x^2-x^2y+y^2=10y$ haline gelir. Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım.
$10x^2-x^2y+y^2-10y=0$
$x^2(10-y)-y(10-y)=0$
$x^2=y$ veya $y=10$ olmalıdır.
$i)$ $y=10$ ise ilk denklem $x^2-100=0$ yani $x=10$ veya $x=-10$ elde edilir. 2. denklemde yerine konulduğunda sağlandığı görülür.
$ii)$ $x^2=y$ ise ilk denklem $x^4-x^3-x^2+10x=0$ haline gelir. Bu denklemin kökleri $x=-2$ ve $x=0$ olduğundan
$a)$ $x=0$ ise $y=0$ olmalıdır. $2.$ denklemi sağlar.
$b)$ $x=-2$ ise $y=4$ olmalıdır. $2.$ denklemi sağlar.
Buna göre çözüm kümemizdeki ikililer $(-10,10),(-2,4),(0,0),(10,10)$ olmalıdır. Yani $4$ tane ikilimiz vardır.
-
Bir başka çözümünü daha vereyim ;
$y=xt$ , $t \in \mathbb R$ dönüşümü yapabiliriz.
Denklemleri $y=xt$ yazıp düzenlediğimizde
$x+xt-xt^2=10$
$x^2-x^2t^2+xt^2=10t$ denklem sistemi veya $x=0$ elde edilir.
İlk denklemden $x$ ifadesini çekersek $x=\frac{10}{1+t-t^2}$ olur.
Elde ettiğimiz $2.$ denklemde yerine koyup düzenlersek
$t^5-t^4-2t^3+11t^2+t-10=0$ denklemi elde edilir.
bu denklemin köklerinden birinin $t=1$ olduğu açıktır. Basit bir polinom bölmesi ile
$(t-1).(t^4-2t^2+9t+10)=0$ elde edilebilir.
$(t^2+at+b).(t^2+ct+d)=t^4-2t^2+9t+10$ denilirse
$a+c=0$
$ac+b+d=-2$
$ad+bc=9$
$bd=10$ eşitliklerinden $a=3$, $b=2$, $c=-3$, $d=5$ elde edilir.
Yani düzenlersek $(t-1)(t+1)(t+2)(t^2-3t+5)=0$ elde edilir. $t^2-3t+5=0$ ise $\Delta<0$ olacağından reel kökü olmayacaktır. $t \in \mathbb R$ dediğimizden yani $t=1$, $t=-1$, $t=-2$ ifadelerinden ve $x=\frac{10}{1+t-t^2}$ ile $y=xt$ eşitliklerinden
$i)$ $t=1$ ise $x=10$ ve $y=10$ bulunur.
$ii)$ $t=-1$ ise $x=-10$ ve $y=10$ bulunur.
$iii)$ $t=-2$ ise $x=-2$ ve $y=4$ bulunur.
Fakat biz bu denklem sistemini $x \neq 0$ için yapmıştık. O halde soruda verilen ilk denklemde $x=0$ yazarak $-y^2=0$ yani $y=0$ buluruz.
Buna göre çözüm kümemizdeki ikililer $(-10,10),(-2,4),(0,0),(10,10)$ elde edilir. Yani $4$ tane ikilimiz vardır.