Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: kahyaoglu_4635 - Eylül 10, 2018, 10:31:12 ös

Başlık: Rakamlarının yerleri değiştirilen 7 basamaklı sayı {çözüldü}
Gönderen: kahyaoglu_4635 - Eylül 10, 2018, 10:31:12 ös

ABCDEFG yedi basamaklı sayısının yereleri degistirilip DEFGABC şeklinde yazıldığında yeni sayı ilk sayinin 2 katının 1 fazlası oluyor.
Bu sayı kaçtır?

Başlık: Ynt: Rakamlarının yerleri değiştirilen 7 basamaklı sayı
Gönderen: Lokman Gökçe - Eylül 12, 2018, 10:21:37 ös

Çözüm (Lokman Gökçe): $ABCDEFG = 4358717$ dir. Çözümü çok daha hızlı biçimde tamamlamak mümkündür. Açıklık amacıyla ara adımları detaylandırmaya çalıştım.

         $(DEFGABC)=2(ABCDEFG)+1$

$\implies (DEFG000)+(ABC) =2(ABC0000)+(DEFG)+1$

$\implies 1000\cdot (DEFG) + (ABC) = 20000\cdot (ABC) + 2\cdot (DEFG) + 1$

$\implies 998\cdot (DEFG) = 19999 \cdot (ABC) + 1$

$\implies  19999 \cdot (ABC) + 1 \equiv 0 \pmod{998} $   (Ayrıca $19999 \equiv 39 \pmod{998} $ olduğundan)

$\implies  39 \cdot (ABC)  \equiv -1 \pmod{998} $

$\implies  39 \cdot (ABC)  =998k -1$     ($k$ bir tamsayı)

$\implies  998k -1 \equiv 0 \pmod{39}$   (Ayrıca $998 \equiv 23 \pmod{998} $ olduğundan)

$\implies  23k  -1 \equiv 0 \pmod{39}$

$\implies  23k -1 = 39t  $     ($t$ bir tamsayı)

$\implies   39t \equiv - 1\pmod{23} $   (Ayrıca $39 \equiv 16 \pmod{23} $ olduğundan)

$\implies   16t \equiv - 1\pmod{23} $     (Denklik rahat çözülebilecek kadar küçüldü. İstersek sayıları daha da küçültebiliriz)

$\implies   16t \equiv - 1 + 23\cdot 7 \pmod{23} $

$\implies   16t \equiv 160 \pmod{23} $

$\implies t = 10 +23n $     ($n$ bir tamsayı)

Bu değeri $23k -1= 39t$ denkleminde yazarsak $k=17 + 39n$ olur. Bu değeri de $39 \cdot (ABC)  = 998k -1$ denkleminde yazarsak $(ABC)=435 + 998n$ elde edilir. $(ABC)$ üç basamaklı sayı olduğundan $n=0$ alırız. $(ABC)=435$ olur. Bunu kullanarak $(DEFG)=8717$ değerine ulaşmak kolaydır.