Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2018 => Konuyu başlatan: Eray - Temmuz 09, 2018, 06:17:56 ös
-
Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\Gamma$ olsun. $[AB]$ ve $[AC]$ doğru parçaları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları $|AD|=|AE|$ olacak şekilde alınıyor. $[BD]$ ve $[CE]$ nin orta dikmeleri $\Gamma$ nın küçük $\overset\frown{AB}$ ve $\overset\frown{AC}$ yaylarını sırasıyla $F$ ve $G$ noktalarında kesiyor. $DE$ ve $FG$ doğrularının paralel olduklarını veya aynı doğru olduklarını gösteriniz.
-
Çemberin merkezi $O$ orta dikmelerin büyük yayaları kestiği noktalar $F'$ ve $G'$ olsun. $|AD|=|AE|=2x$ olsun. $O$'dan $AB$ ve $AC$'ye inen dikme ayakları sırasıyla $K,L$ ve $FF'\cap AB=T,GG'\cap AC=R$ olsun. $K$ ve $L$, $AB$ ve $AC$'yi ortalayacağından $|KT|=|LR|=x$ olur. $O$'dan $FF'$ ve $GG'$'ne inen dikme ayakları sırasıyla $S$ ve $Q$ olmak üzere $SOKT$ ve $LOQR$ dörtgenlerinin dikdörtgen olduğu açıktır. Buradan $|OS|=|OQ|=x$ olur. $FF'\cap GG'=P$ olsun. Deminki eşitlikten $\triangle {POS}$ ve $\triangle {POQ}$ eştir. $|SP|=|PQ|=a$ olur. $|PG'|=b$ ve $|PF'|=c$ olsun. $S$ ve $Q$ sırasıyla $FF'$ ve $GG'$'nü ortaladığından $|FP|=2a+c$ ve $|GP|=2a+b$ olur. Şimdi $P$'ye göre kuvvet yazarsak $(2a+c)c=b(2a+b)\Rightarrow 2ac+c^2=2ab+b^2\Rightarrow (c-b)(c+b+2a)=0$ olur. İkinci çarpan $0$ olmayacağından $b=c$ olur. $\angle{FPG}=2\alpha$ olsun. $FPG$ ikizkenarlığından $\angle{PFG}=\angle{PGF}=90^\circ-\alpha$ olur. $FG\cap AB=X$ olmak üzere $\angle{FXT}=\alpha$ olur. Zaten $\angle{TAR}=180^\circ-2\alpha$ olduğundan $ADE$ ikizkenar üçgeninde $\angle{ADE}=\alpha$'dır. Bu durumda $FG$ doğrusu ya $DE$'ye paraleldir yada bu iki doğru aynı doğrudur.
-
Bir önceki çözümün aynısını şöyle ifade edebiliriz.
$SOKT$ ve $LOQR$ birer dikdörtgendir. $OS=KT=LR=OQ$ olduğu için $FF'$ ve $GG'$ kirişleri $O$ dan eş uzaklıkta oldukları için $FF'=GG'$, dolayısıyla $FP=GP$.
$\angle FPG = 2\alpha$ dersek, $\angle AXG =\angle ADE =\alpha \Longrightarrow DE \parallel BC$ olacaktır.