Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme => 2018 => Konuyu başlatan: Eray - Mart 03, 2018, 08:59:28 ös

Başlık: Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2018 Soru 2
Gönderen: Eray - Mart 03, 2018, 08:59:28 ös

$m^2+n^2 = 2018(m-n)$ denklemini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı ikililerini bulunuz.

(Şahin Emrah)

Başlık: Ynt: Tübitak Avrupa Kızlar Takım Seçme 2018 Soru 2
Gönderen: Metin Can Aydemir - Mart 06, 2018, 01:31:25 öö

$m$ ve $n$'nin biri tek diğeri çift olamayacağı aşikardır. Dolayısıyla $m-n$ çifttir.İfadenin sağ tarafı $4$'e bölündüğünden $m$ ve $n$ çift olmalı. Ayrıca $m>n$ olmalı.
$(m,n)=2d$ olsun. $(x,y)=1$ olmak üzere $m=2dx$, $n=2dy$ diyelim.$x>y$'dir. Denklem, $$d(x^2+y^2)=1009(x-y)$$ olur.
$i)d=1009$ ise $x^2+y^2=x-y$ olur. $x$ ve $y$ pozitif tamsayı olduğundan bu sağlanamaz.
$ii)d\neq 1009$ ise $d\mid (x-y)$ olur. Ayrıca $$(x-y)\mid d(x^2+y^2)\Rightarrow (x-y)\mid d(x-y)^2-d(x^2+y^2) \Rightarrow (x-y)\mid 2dxy$$ $$(x-y)\mid 2dxy\Rightarrow (x-y)\mid 2dxy-2dy(x-y)\Rightarrow (x-y)\mid 2dy^2$$ Benzer şekilde $(x-y)\mid 2dx^2$ olur.
$\Rightarrow \dfrac{x-y}{d}\mid 2x^2$ ve $\dfrac{x-y}{d}\mid 2y^2$ olur. $(2x^2,2y^2)=2$ olduğundan $\dfrac{x-y}{d}\mid 2$ olur.
$iia)\dfrac{x-y}{d}=1$ ise denklem $x^2+y^2=1009$* olur. Bu denklemin çözümleri $(x,y)=(28,15)$'dir. $d=x-y=13$ olduğundan $(m,n)=(728,390)$ bulunur.
$iib)\dfrac{x-y}{d}=2$ ise denklem $x^2+y^2=2018$* olur.Bu denklemin çözümleri $(x,y)=(43,13)$'dir. $d=\dfrac{x-y}{2}=15$ olduğundan $(m,n)=(1290,390)$ olur.

NOT: *'lı denklemlerinin çözümünü Wolfram Alpha'dan baktım.Deneme yoluyla bulmak uzun geldi  :D