Geomania.Org Forumları
Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: alpercay - Ağustos 24, 2017, 03:59:49 ös
-
İkizkenar olmayan bir $ ABC $ üçgeninde $ A $ ve $ B $ açılarına ait açıortay uzunlukları ile bu açıortayların kestikleri kenarların uzunlukları ters orantılıdır. Buna göre $ m(C) $ kaç derecedir? (sharygin geometri olimpiyatlari-2012)
-
Üçgenin $A$ ve $B$ köşelerinden çıkan yükseklik ve açıortaylar sırası ile $h_a,n_A$ ve $h_b,n_B$ bu ikilier arasındaki açılar sırasıyla $\theta$ ve $\alpha$ olsun. Problemin hipotezinden $n_B/n_A=at/bt$ ve her üçgen için geçerli olan $h_a/h_b=bk/ak$ eşitliklerini yazabiliriz. Bir üçgende bir köşeden çıkan yükseklik ile açıoartay arasında kalan açı (kanıtı kolayca yapılabilir) eşitliğinden $\alpha=|A-C|/2$ ve $\theta=|B-C|/2$ eşitlilkleri de mevcuttur. Şimdi $cos\alpha=h_b/n_B=k/t=cos|A-C|/2$ ve $cos\theta=k/t=cos|B-C|/2$ ise $cos|A-C|/2=cos|B-C|/2$ trigonometrik eşitliğinden ya $A=B$ ya da $A+B=2C$ olmalıdır. $ABC$ üçgeninin ikizkenar olma durumu dışlandığından geçerli olan ikinci eşitliktir. Üçgenin iç açıları arasındaki $A+B+C=180\,^{\circ}$ bağıntısı ve bu eşitlik birlikte düşünülürse $<C=60\,^{\circ}$ derece olduğu görülür.