Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Uluslararası Matematik Olimpiyatı => 2017 => Konuyu başlatan: Eray - Ağustos 06, 2017, 05:02:12 ös

Başlık: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2017 Soru 1
Gönderen: Eray - Ağustos 06, 2017, 05:02:12 ös

Her $a_0>1$ tam sayısı için $a_0,a_1,a_2,\ldots$ dizisi şu şekilde tanımlanıyor:

her $n\ge0$ için $a_{n+1} =
\begin{cases}
\sqrt{a_n} & \text{eğer } \sqrt{a_n} \text{ tam sayı ise} \\
a_n + 3 & \text{diğer durumda}
\end{cases}$

$a_0$ ın hangi değerleri için öyle bir $A$ tam sayısı vardır ki sonsuz çoklukta $n$ değeri için $a_n=A$ olsun?

Başlık: Ynt: Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2017 Soru 1
Gönderen: nk6 - Ağustos 09, 2017, 01:16:28 öö

Sorudaki şart için $3|a_0$ olması gerek ve yeterlidir.

$3|a_0$ olsun. $a_0\geq 9$ ise serinin $3,6,9$ döngüsüne gireceği açıktır. $a_0>9$ olsun, $(3k-3)^2<a_0<(3k)^2$ olmak üzere $k>1$ ise serideki sonraki tamkare $(3k)^2$ den sonraki terim $3k<(3k-3)^2$ olacaktır, yani seri her tamkareye vurduktan sonra önceki aldığı değerlerden daha düşük bir değere varmaktadır, bu da pozitif tamsayılarda sonlu kez tekrarlanabileceğinden bir süre sonra $k=1$ olur, dizi $3,6,9$ döngüsüne girer.

Dizinin bir terimi $3k+2$ formatında olursa dizinin sürekli artmaya başlayacağı, dolayısıyla sonsuz kez geçen bir terim bulunamayacağı açıktır. Şimdi dizide $3k+1$ formatında bir terim varsa $3k+2$ formatında bir terim de bulunacağını gösterelim.

$(3k)^2<a_t$ olan en büyük $k$ sayısını alalım. Eğer dizideki bir sonraki tamkare $(3k+2)^2$ ise sonraki terim $3k+2$ olur, istenen elde edilir. Eğer $(3k+1)^2$ ve $k>1$ ise $3k+1<(3k-3)^2$ olur, benzer şekilde bu küçültmeyi sonlu kez uygulayabileceğimizden bir süre sonra $k=1$, $a_x=16$, $a_{x+2}=2$ olur, istenen elde edilir ve ispat biter.