Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Nisan 15, 2017, 12:59:22 öö
-
Problem (İlham Aliyev): $4.$ dereceden $P(x)$ polinomu, her $k=0,1,2,3,4$ için $P(k)=\dfrac{k^2}{k+1}$ eşitliğini sağlıyorsa, $P(-2)$ kaçtır?
$\textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ -2 \qquad\textbf{c)}\ 4 \qquad\textbf{d)}\ -4 \qquad\textbf{e)}\ 1$
-
$(x+1).P(x)-x^2=Q(x)$ olacak şekilde $Q(x)$ polinomu tanımlayalım.
$der[Q(x)]=5$
$Q(0)=Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0 \Longrightarrow Q(x)=a.(x).(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)$
$\Longrightarrow P(x)=\dfrac{a.(x).(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)+x^2}{x+1}=\dfrac{R(x)}{x+1}$
$(x+1)|R(x)\Longrightarrow R(-1)=0 \Longrightarrow a.(-1).(-2).(-3).(-4).(-5)+1=0 \Longrightarrow a=\dfrac{1}{5!}$
Artık $P(-2)$'yi bulabiliriz. $P(-2)=\dfrac{\dfrac{1}{5!}.(-2).(-3).(-4).(-5).(-6)+4}{-1}=\dfrac{-6+4}{-1}=2$
-
Daha genel anlamda "Analiz ve Cebirde İlginç Olimpiyat Problemleri" isimli kitapta aşağıdaki problem mevcut.
2.14. Derecesi $n\gt 1$ olan her $k=0,1,2,...,n$ için $P(k)=\dfrac{k}{k+1}$ eşitliğini sağlayan bir $P$ polinomu veriliyor. $P(n+1)$ değerini hesaplayınız.
-
Verilen zarif çözümün yanında herkesin aklına gelebilecek olan iptidai bir şekilde polinomu $P(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$ şeklinde alarak $x=1,2,3,4$ için Cramer kuralı ile katsayıları bulsaydık $P(x)=\dfrac{1}{120}x^4-\dfrac{11}{120}x^3+\dfrac{23}{60}x^2+\dfrac{1}{5}x$ olacaktı.