Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Nisan 10, 2017, 02:35:15 öö
-
Problem (L. Gökçe): Çarpanların sırasının değişmesi özdeş kabul edilmek üzere, $$abcd=6^8$$ denkleminin kaç $(a,b,c,d)$ pozitif tamsayı dörtlüsü çözümü vardır?
-
Özdeş olmayan çözüm dörtlülerinin sayısı $1297$ dir!
Özdeşlikten kastımız $(1,1,1,2^8\cdot 3^8)$, $(1,1,2^8\cdot 3^8,1)$, $(1,2^8\cdot 3^8,1,1)$, $(2^8\cdot 3^8,1,1,1)$ gibi elemanlarının yerleri değiştirilmesi sonucu biri diğerinden elde edilebilen dörtlülerdir. Amacımız bu tür özdeş dörtlüleri yalnızca bir kez saymaktır. Yani $a\ge b \ge c \ge d$ özelliğindeki çözümlerin sayısını bulmalıyız. Bu eşitsizliği sağlayan çözüm dörtlüleri birbirinin özdeşi değildir.
$a=2^{n_a}3^{m_a}$, $b=2^{n_b}3^{m_b}$, $c=2^{n_c}3^{m_c}$, $d=2^{n_d}3^{m_d}$ diyelim. $abcd = 2^{n_a + n_b + n_c + n_d} \cdot 3^{m_a + m_b + m_c + m_d} = 2^8 \cdot 3^8$ olup
$$\begin{array}{lcr}
n_a + n_b + n_c + n_d & = & 8 \\
m_a + m_b + m_c + m_d & = & 8
\end{array}$$
denklem sisteminin çözüm sayısı $\dbinom{11}{3}^2=27225$ tir. Fakat bu bizim için çok büyük bir yanıttır. Çünkü burada özdeş olan çözümler de vardır.
1. Durum: $(a,a,a,b)$ ve $a \ne b$ biçimindeki çözümler
$$ \begin{array}{lcr}
3n_a + n_b & = & 8 \\
3m_a +m_b & = & 8
\end{array} $$
$3\cdot 3 =9$ tanedir. Ancak bunların içindeki $(n_a,n_b)=(m_a,m_b)=(2,2)$ durumundan $a=b$ elde edildiği için istenmeyen bir durumdur. Böylece 1. duruma uyan çözüm sayısı $9-1=\boxed 8$ dir.
Uyarı 1: Bu durumlar $a=b=c>d$ ve $a>b=c=d$ özdeş olmayan alt durumlarını da içerir.
2. Durum: $(a,a,b,b)$ ve $a \ne b$ biçimindeki çözümler
$$ \begin{array}{lcr}
2n_a + 2n_b & = & 8 \\
2m_a +2m_b & = & 8
\end{array} $$
denklemlerinden $(n_a,n_b)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$ ve $(m_a,m_b)=(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)$ olarak elde edilir. $5\cdot 5 =25$ çözüm vardır. Fakat $(n_a,n_b)=(m_a,m_b)=(2,2)$ için $a=b$ istenmeyen bir durumdur. Böylece 2. duruma uyan çözüm sayısı $25-1=24$ tür.
Uyarı 2: Bu durum, $a=b>c=d$ ve $a=b<c=d$ özdeş alt durumlarını da içerir. Böylece $\dfrac{24}{2}=\boxed{12}$ tane özdeş olmayan alt durum vardır.
3. Durum: $(a,a,b,c)$ ve $a \ne b \ne c \ne a$ biçimindeki çözümler
$$ \begin{array}{lcr}
2n_a + n_b +n_c & = & 8 \\
2m_a +m_b +m_c & = & 8
\end{array} $$
denklemlerinden $(n_a,n_b,n_c)=(0,8,0),\dots ,(4,0,0)$ ve $(m_a,m_b,m_c)=(0,8,0),\dots ,(4,0,0)$ olup $25\cdot 25 =625$ tanedir. Ancak
$(n_a,n_b),(m_a,m_b)\in \{(0,0),(1,1),(2,2)\}$ için $a=b$ istenmeyen durumları elde edilir. $3\cdot3=9$ tanedir.
$(n_a,n_c),(m_a,m_c)\in \{(0,0),(1,1),(2,2)\}$ için $a=c$ istenmeyen durumları elde edilir. $3\cdot3=9$ tanedir.
$(n_b,n_c),(m_b,m_c)\in \{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}$ için $b=c$ istenmeyen durumları elde edilir. $5\cdot 5=25 $ tanedir.
Ayrıca $(n_a=n_b,n_c)=(m_a=m_b,m_c)=(2,2)$ durumu $3$ kez sayıldı. Böylece $625-9-9-25+2=584$ durum bulunur.
Uyarı 3: Bu durum $a=b>c>d$ ve $a=b>d>c$ alt durumlarını içerir. Böylece özdeş olmayan alt durum sayısı $\dfrac{584}{2}=\boxed{292}$ dir.
Son Durum: $(a,a,a,a)$ biçimindeki çözümler. Açıkça bu türlü çözüm yalnızca $\boxed{1}$ tanedir.
Bu dört durumu göz önüne alarak $(a,b,c,d)$ biçiminde her bir bileşenin birbirinden farklı olduğu durumların sayısını $$\dfrac{27225-\dbinom{4}1\cdot 8 -\dbinom{4}2\cdot 12 -\dfrac{4!}{2!}\cdot 292 -1 }{4!}= \boxed{984}$$ olarak hesaplayabiliriz.
Böylece özdeş olmayan tüm durumların toplamı $984 + 8 +12 + 292 +1=1297$ bulunur.
Not: Bu problemimi geomania'da yayınlamadan bir gün önce (9 Nisan 2017 tarihinde) burada (https://math.stackexchange.com/questions/2226769/multiplicative-partitions-abcd-28-cdot-38) yayınlamıştım. Alternatif çözümleri incelemek isteyenler için bağlantıyı sunalım. Konu ile ilgilenen bazı yabancı kombinatorik hocaları, problemimin Çarpımsal Parçalanışlar (Multiplicative Partitions) isimli bir problem türüne karşılık geldiğini belirttiler.