Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1993 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Nisan 02, 2017, 02:20:48 ös
-
$x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=y^2$ denkleminin $x,y$ tamsayı olacak şekilde kaç tane $(x,y)$ çözüm takımı vardır?
$
\textbf{a)}\ \text{Sonsuz}
\qquad\textbf{b)}\ 12
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 0
\qquad\textbf{e)}\ 3
$
-
Yanıt: $\boxed{D}$
Verilen denklemi $y^2=3x^2+6x+5$ biçiminde yazalım. Bu ifadeyi $\mod{3}$ 'te incelersek $y^2 \equiv 2 \pmod{3}$ bulunur. Halbuki bir $y$ tamsayısı için $y \equiv 0, 1, -1 \pmod{3}$ olup bu değerlerin karesini alırsak $y^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ elde edilir. Yani $y^2 \not\equiv 2 \pmod{3}$ dir. Dolayısıyla $y^2=3x^2+6x+5$ denkleminin tamsayılarda çözümü yoktur.
-
$x$, $x+1$, $x+2$ sayıları $\bmod 3$ te, $0,1,2$ sayılarının bir permütasyonuna denktir. Bu durumda, $y^2\equiv 0 + 1 +4 \equiv 5 \equiv 2 \pmod 3$ denkliğinin çözümü olmadığı kolayca görülebilir.