Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Lise 1. Aşama => 1993 => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Nisan 02, 2017, 12:59:36 öö

Başlık: Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 06
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 02, 2017, 12:59:36 öö

Aşağıdaki ispatta hangi adım hatalıdır?

TEOREM: $\dfrac12$ sayısının karekökü yoktur.

İSPAT: $x=\sqrt{\dfrac12}$ olduğunu varsayalım. O zaman


$\begin{array}{llr}
  & 2x^2=1 & i \\
\implies  & 2x^2 + 1 =4-4x^2& ii \\
\implies  & x^4 +2x^2 + 1 =x^4 + 4 - 4x^2& iii \\
\implies  & (x^2 + 1)^2 =(x^2 -2)^2& iv\\
\implies  & x^2 + 1 =x^2 -2 & v \\
\implies &  1 = -2 \text{  (çelişki) }& vi
\end{array}$


$
\textbf{a)}\ i\implies ii
\qquad\textbf{b)}\ ii\implies iii
\qquad\textbf{c)}\ iii\implies iv
\qquad\textbf{d)}\ iv\implies v
\qquad\textbf{e)}\ v \implies vi
$

Başlık: Ynt: Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 06
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 02, 2017, 01:09:32 öö

Yanıt: $\boxed{D}$

$(iv)$ adımındaki $(x^2 + 1)^2 =(x^2 -2)^2$ ifadesinde her iki tarafın karekökü alınırken $x^2+1=|x^2-2|$ yazılmalıdır. $x^2= \dfrac12$ olduğundan $x^2-2<0$ dır. Dolayısıyla $|x^2-2|=2-x^2$ dir. Fakat $ (v)$ adımında $|x^2-2|=x^2-2$ alınarak hata yapılmıştır.