Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: KereMath - Ağustos 24, 2016, 10:01:13 ös
-
tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz öyle ki;
$n=\prod _{ i=1 }^{ k }{ { n }_{ i }^{ } }={ 2 }^{ \frac { 1 }{ { 2 }^{ k } } \prod _{ i=1 }^{ k }{ \left( { n }_{ i }-1 \right) } }-1$ ifadelerini sağlayan $n_1,n_2,...n_k>3$ tam sayıları var olsun.
-
$(\text{ArtOfMathSolving})$
Düzenlersek,$$1+\prod_{i=1}^{k}n_{i}=2^{\prod_{i=1}^{k}n_i}-1\Rightarrow \log_{2}\left( \prod_{i=1}^{k}n_i+1\right)^{2{k}}=\prod_{i=1}^{k}n_i-1$$.
Açıkça $k=1$ için $n=7$ ayrıca iddia ediyoruz ki bu ifade $k=1$ için doğru, $k\geqslant 2$ için eşitsizliğe dönüşüyor ayrıca $k=2$ için eşitlik durumu yok ve Sol taraftaki ifade sağ taraftaki ifadeden büyük. Kanıtlayalım.
$$\prod_{i=1}^{k}(n_{i}-1)\leqslant \left( \dfrac{\sum_{i=1}^{k}(n_{i}-1)}{k}\right)^k$$ olduğunu Aritmatik ortalamadan biliyoruz. Göstermek gereken,
$$\log_{2}\left(\prod_{i=1}^{k}n_{i}+1\right)^{2^{k}}\geqslant \left( \dfrac{\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)}{k}\right)^{k/2^{k}}$$
$$\Rightarrow \sqrt[2^k]{2^{\left( {\frac{\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)}{k}}^{k}\right)}}\geqslant\left( \sum_{i=1}^{k}(n_i-1)\right)^k+1$$ $n\rightarrow \infty$ olduğunda ifade $Bernoulli$ eşitsizliğinden doğru olacaktır. Şimdi $k=2$ için çözüm olmadığını gösterelim. Bu eşitsizlikte $k=2$ yazıp, $((n_1-1)(n_2-1))^2+4=\ell$ dersek, $2^{\ell/4}=\ell/2$ denkleminin çözümleri $\ell=4,8$ olur fakat $n_i$ li terimlerin tanımlarından bu mümkün değildir, çelişki! O halde ispat biter. $\square$