Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: MATSEVER 27 - Temmuz 26, 2016, 04:55:34 ös

Başlık: Noktadaşlık {çözüldü}
Gönderen: MATSEVER 27 - Temmuz 26, 2016, 04:55:34 ös

$|AB|=|AC|$ eşitliğini sağlayan ve çevrel çemberinin merkezi $O$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[AC]$ kenarının orta noktası $M$ olsun. $[BC]$ üzerinde $|BN|=2.|NC|$ olacak biçimde bir $N$ noktası alalım. $N$ nin $BM$ ye izdüşümü $P$ olsun. $OPC$ üçgeninin çevrel çemberiyle $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $Q$ noktasında kesişiyor. Buna göre $BC$ ve $OP$ doğrularının $AQ$ üzerinde bir noktada kesiştiğini gösteriniz.

(Matsever 27)

Başlık: Ynt: Noktadaşlık
Gönderen: matematik fatihi - Temmuz 27, 2016, 02:30:42 ös

İddia: Bu üç doğrunun noktadaş olması için $A,O,P,B$ çembersel olmalıdır. 

İyi bilinen gerçeklik: Merkezleri doğrusal olmayan üç çemberin ikişerli kuvvet eksenleri tek noktada kesişir. (Kuvvet merkezi diye bilinir)

İki çember $A$ ve $B$ de kesişsin. $AB$ bu çemberlerin kuvvet eksenidir. Dolayısıyla düzlemde alınan üç çember için her çember ikilisinin kesişim noktalarından geçen doğrular noktadaş olur.

$A,O,B,P$ çembersel olsun. $C_1 \to (ABPO)$,  $C_2 \to (ABC)$ ve $C_3 \to (OPC)$ çemberlerini isimlendirelim. $C_1 \cap C_2 =\{A,B \}$, $C_2 \cap C_3 =\{Q,C \}$ ve $C_1 \cap C_3 =\{O,P \}$ olduğundan $BC$, $OP$ ve $AQ$ noktadaş olur.

O halde ispatlanması gereken $A,O,P,B$ çemberselliğidir. Şimdi bunu ispatlayalım.

$AO \cap BC=T$ olsun. $T$ noktası $[BC]$ nin orta noktası olur. $AQ \cap BM=G$ olsun. $G$ de $ABC$ nin ağırlık merkezi olur. $\frac{GM}{GB}=\frac{NC}{NB}=\frac{1}{2}$ olduğundan $GN \parallel AC$ olur. $NP \cap AO=H$ olsun.  $BH \perp GN$ ve  $BH \perp AC$ olduğundan da $H$ noktası $ABC$ ve $BGN$ üçgenlerinin diklik merkezi olur. $\overline{GO}.\overline{GA}=\frac{\overline{GH}}{2}.2\overline{GQ}=\overline{GH}.\overline{GQ}=\overline{GP}.\overline{GB}$ olduğundan $AOPB$ kirişler dörtgeni olur ispat biter. $\blacksquare$