Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: LaçinCanAtış - Temmuz 23, 2016, 11:16:58 ös
-
$x,y,z>0$ ise
$$\sum \frac{x}{\left(x^2+yz\right)\left(y^2+xz\right)}\le \frac{3}{4xyz}$$
olduğunu kanıtlayınız.(Soru pek yabancı birine ait değil.)
İlker Can Çiçek
-
$$\sum _{cyc}\frac{x^2yz}{\left(x^2+yz\right)\left(y^2+xz\right)}\le \frac{3}{4} $$
ifadeyi düzenleyelim.
$$\sum _{ cyc }\: \frac { 1 }{ \left( \frac { x }{ z } +\frac { y }{ x } \right) \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } \right) } \le \: \frac { 3 }{ 4 } \quad \quad (\bigstar )$$
$a=\frac { y }{ x } ,b=\frac { z }{ y } ,c=\frac { x }{ z } \Rightarrow abc=1$
$$(\bigstar )\Leftrightarrow \sum _{cyc}\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\le \frac{3}{4}$$
$$\Leftrightarrow \frac { 2\left( a+b+c \right) }{ \left( a+b \right) \left( b+c \right) \left( a+c \right) } \le \frac { 3 }{ 4 } $$
$$\Leftrightarrow 8\left(a+b+c\right)\le 3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)$$
Eşitsizliği doğrudur.Çünkü :
$$3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge \frac{8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)}{3}\ge 8\left(a+b+c\right)\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=8\left(a+b+c\right)$$
İspat biter.
Laçin Can ATIŞ