Geomania.Org Forumları
Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2002 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Temmuz 15, 2016, 05:51:37 ös
-
$2^{m}+1$ sayısının $2^{n}-1$ ile bölünmesini sağlayan tüm $(m,n)$ pozitif tam sayı sıralı ikililerini bulunuz.
-
Açıkça $n=1$ için $m$ her pozitif tamsayı değerini alabilir. $n=2$ için $2^n-1=3$ olduğundan $3|2^m+1$ ya da buna denk olarak $2^m \equiv -1 \pmod{3}$ olmasını sağlayan $m$ leri belirleyelim. $m=1,2,3,4,\dots$ değerleri için $2^m \equiv 2, 1, 2, 1, \dots \pmod{3}$ biçiminde periyodik olarak devam eder. Dolayısıyla $m=2k-1$ biçiminde pozitif tek tamsayılar çözümdür.
$n \geq 3$ için $m$ tamsayıları elde edemeyeceğiz. İddiamızı kanıtlamadan önce, bu kanaate varmamızı sağlayan fikirlerin nasıl oluştuğunu açıklamak daha faydalı olacaktır. $n \geq 3$ için bazı değerler vererek devam edeceğiz.
$n=3$ için $2^n-1=7$ olduğundan $7|2^m+1$ ya da buna denk olarak $2^m \equiv -1 \pmod{7}$ olmasını sağlayan $m$ değerleri (varsa) bulalım. $m=1,2,3,4,5, 6 \dots$ değerleri için $2^m \equiv 2, 4, 1, 2, 4, 1, \dots \pmod{7}$ biçiminde periyodik olarak devam eder. Dolayısıyla çözüm olabilecek $m$ değerleri yoktur.
$n=4$ için $2^n-1=15$ olduğundan $15|2^m+1$ ya da buna denk olarak $2^m \equiv -1 \pmod{15}$ olmasını sağlayan $m$ değerleri (varsa) bulalım. $m=1,2,3,4,5, 6, 7, 8 \dots$ değerleri için $2^m \equiv 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 1, \dots \pmod{15}$ biçiminde periyodik olarak devam eder. Yine çözüm olabilecek $m$ değerleri yoktur.
Şimdi, genel olarak $n \geq 3 $ için çözüm olmadığını ispatlayacak bir fikir oluşmuştur. $2^m \equiv -1 \pmod{2^n - 1}$ olmasını sağlayan $m$ değerleri var mıdır? $m=1,2, 3, \dots , n-1, n $ değerleri için $2^m \equiv 2, 4, 8, \dots , 2^{n-1}, 1 \pmod{2^n - 1}$ elde edilir. Yani $2^m \not\equiv -1 \pmod{2^n - 1}$ dir, çözüm yoktur.