Geomania.Org Forumları

Yarışma Soruları => Tübitak Ortaokul 2. Aşama => 2003 => Konuyu başlatan: ERhan ERdoğan - Temmuz 15, 2016, 05:49:14 ös

Başlık: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2003 Soru 1
Gönderen: ERhan ERdoğan - Temmuz 15, 2016, 05:49:14 ös

$ABCD$ kirişler dörtgeninde, köşegenlerin kesişme noktası $E$, $m(\widehat{ADB})=22,5^{\circ} , |BD|=6$ ve $|AD|\cdot|CE| = |DC|\cdot|AE|$ dir. $ABCD$ dörtgeninin alanını bulunuz.

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2003 Soru 1
Gönderen: ygzgndgn - Ocak 01, 2024, 12:07:29 ös

Verilen koşul $DE$'nin açıortay olduğunu gösterir. O halde $\angle{ADC}=22,5^\circ+22,5^\circ=45^\circ$ ve $\angle{ABC}=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ olmalıdır. Eşit yayları gören kirişlerden $AB=BC$ bulunur. Öte yandan $\angle{BAC}=\angle{ADE}=22,5 ^\circ$ vardır. Bu sebeple $AB$ doğrusu $(ADE)$ çemberine teğet olmalıdır. B noktasının kuvvetini yazarsak $AB^2=BE\cdot BD=6\cdot BE$ bulunur. Diğer taraftan E'nin kuvvetini yazarsak $BE\cdot ED=AE\cdot EC$ sağlanır. Açıortay Teoremi'nden $DE^2=AD\cdot DC-AE\cdot EC=AD\cdot DC-BE\cdot ED$ bulunur. Buradan $DE(DE+EB)=AD\cdot DC\Rightarrow BD\cdot DE=AD\cdot DC\Rightarrow 6\cdot DE=AD\cdot DC$ sağlanır.
$$A(ADC)=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot DC\cdot \sin{45^\circ}=3ED\cdot \sin{45^\circ}$$ $$A(ABC)=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin{135^\circ}=\frac{1}{2}\cdot AB^2\cdot \sin{45^\circ}=3BE\cdot \sin{45^\circ}$$ olur. Bunları toplarsak $$\boxed{A(ABCD)=A(ABC)+A(ADC)=3(BE+ED)\cdot \frac{\sqrt 2}{2}=9\sqrt 2}$$ elde ederiz. $\blacksquare$

Başlık: Ynt: Tübitak Ortaokul 2. Aşama 2003 Soru 1
Gönderen: Lokman Gökçe - Nisan 09, 2026, 08:31:32 ös

$\dfrac{|AD|}{|DC|} = \dfrac{|AE|}{|CE|}$ olduğundan $ADC$ üçgeninde $[DE]$ iç açıortaydır. Buna göre $\angle CDE = \angle ADE = 22,5^\circ$ olur. Kirişler dörtgeninde eşit ölçülü çevre açıların gördüğü kirişler eşit olup $|AB| = |BC|$'dir. $[DC$ ışını üzerinden bir $F$ noktasını $|BF| = |BD| = 6$ olacak şekilde alalım. $\angle DAB = \angle FCB$, $\angle BFC = \angle BDA$ olduğundan $FCB \cong DBA$ (AKA eşliği) olur. Dolayısıyla $\text{Alan}(ABCD) = \text{Alan}(BDF)$'dir. $\angle DBF = 135^\circ$ ve $\text{Alan}(BDF) = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 135^\circ = 9\sqrt{2}$ olur. $\text{Alan}(ABCD) = 9\sqrt{2}$ bulunur.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=6002.0;attach=17113;image)